Höhere Strukturen und Deformationen in Darstellungstheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Zhengfang Wang
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2022 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 503982309

Gegenstand dieses Projekts sind von Hochschild- und verwandten Kohomologien kommende höhere algebraische Strukturen sowie höhere kategorielle Strukturen wie A-unendlich Kategorien. Ich möchte neue und vertiefte Methoden entwickeln, die sich auf eine Vielfalt von Problemen in Algebra, Darstellungstheorie, Topologie und Geometrie anwenden lassen.In den letzten Jahren habe ich von singulärer Hochschild-Kohomologie (SingHKoh) herrührende höhere algebraische Strukturen untersucht und gezeigt, dass SingHKoh ebenso reiche Struktur trägt wie klassische HKoh: eine Gerstenhaber-Algebra auf der Kohomologie und eine B-unendlich Algebra auf dem Niveau der Komplexe. Dadurch motiviert zeigte Keller, dass SingHKoh isomorph ist zur HKoh der differentiell graduierten (dg) Singularitätenkategorie. Er vermutete auch, dass dieser Isomorphismus zu einem Quasi-Isomorphismus von B-unendlich Algebren gehoben werden kann.Erstes Ziel meines Projekts ist ein Beweis von Kellers Vermutung. Dazu haben X.-W. Chen und ich eine explizite dg Erweiterung von Singularitätenkategorien eingeführt. Im Projekt planen wir, eine natürliche Operation der B-unendlich Struktur der SingHKoh auf dieser dg Erweiterung zu konstruieren und damit einen B-unendlich Isomorphismus zu erhalten, der Kellers Isomorphismus hochhebt. Zweites Ziel sind weitere Anwendungen der SingHKoh in Topologie und Geometrie. Gemeinsam mit M. Rivera wurde eine reichhaltige höhere algebraische Struktur auf der SingHKoh von dg Frobenius-Algebren etabliert. Im Projekt wollen wir nachweisen, dass diese höhere Struktur sogar von einer natürlichen Operation von Sullivans ursprünglich zur Modellierung von Operationen in String-Topologie genutztem dg PROP herkommt. Das Projekt beschäftigt sich auch mit (A-unendlich) Deformationen von (graduierten) Algebren und Anwendungen in der Darstellungstheorie. Gemeinsam mit S. Barmeier haben wir gerade eine kombinatorische Methode entwickelt zum Studium der Deformationstheorie von Quotienten von Wegealgebren endlicher Köcher, die die Berechnung von Beispielklassen zugänglich macht. Das durch Kellers Vermutung motivierte dritte Ziel ist es, das Verhalten von Singularitätenkategorien unter Deformationsquantisierung zu verstehen. Vor allem erwarten wir eine Äquivalenz zwischen Singularitätenkategorien zyklischer Quotientensingularitäten und der Deformationsquantisierung einer natürlichen Poisson-Struktur auf der Singularität. Viertes Ziel ist die Beschreibung der A-unendlich Deformationen von "gentle" Algebren bis auf derivierte Äquivalenz, über ihre geometrischen Modelle. Insbesondere erwarten wir eine Entsprechung zwischen A-unendlich Deformationen und Chirurgie auf den geometrischen Modellen.Fünftes Ziel ist die Anwendung unserer kombinatorischen Methode auf die Untersuchung und Verifikation von Stroppels Vermutung für die "erweiterten Khovanov Arc Algebren" und dadurch den Nachweis der intrinsischen Formalität dieser Algebren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen