Strukturerhaltende Finite-Elemente-Diskretisierung und optimale Steuerung der Flachwassergleichungen mit Bathymetrie auf unstrukturierten Gittern

• Antragsteller: Professor Dr. Dmitri Kuzmin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 504259026

Ziel dieses Forschungsvorhabens ist die Erweiterung modernster algebraischer Flusskorrektur-Verfahren auf die Flachwassergleichungen (SWEs) mit Quelltermen. Des Weiteren soll ein Werkzeug zur optimierungsbasierten Rekonstruktion unbekannter Bathymetrie (d.h. der Topographie des Meeresbodens) aus experimentellen Daten für die freie Oberfläche entwickelt werden. Wir diskretisieren die Modellgleichungen mit stetigen finiten Elementen und modifizieren die Standard-Galerkin-Approximation, um alle relevanten Nebenbedingungen (Nichtnegativität der Wasserhöhe, lokale Maximimprinzipien für die Wasserhöhe und einzelne Komponenten des Geschwindigkeitsfeldes, Entropieungleichungen, Konsistenz mit stationären Gleichgewichtszuständen) beweisbar zu erfüllen. Die Herleitung von Limiter-Techniken zur Einhaltung von Schranken nutzt die Darstellung der Zwischenergebnisse als Konvexkombinationen zulässiger Zustände aus. Um die Entropiestabilität zu garantieren, beschränken wir die Entropieproduktionsrate der antidiffusiven Flüsse. Unsere Verfahren erlauben die Verwendung von unstrukturierten Gittern und impliziten Zeitdiskretisierungen. Gleichgewichts- und positivitätserhaltende Erweiterungen auf SWEs erfordern eine sorgfältige und theoretisch abgesicherte Anpassung unserer Ansätze der algebraischen Limitierung für homogene hyperbolische Systeme. Besonderer Fokus wird auf die numerische Behandlung der trockenen Zustände und der Nass-Trocken-Übergänge gelegt. Um eine unbekannte Bathymetrie zu rekonstruieren, sollen Optimierungsprobleme gelöst werden, bei denen das SWE-System und die Kontinuitätsgleichung eines inversen Problems als Nebenbedingungen dienen. Eine optimale diskrete Laplace-Steuerung ersetzt hierbei einen künstlichen Regularisierungsterm, der in unseren projektbezogenen Vorarbeiten verwendet wurde. Die neuartige Formulierung des Optimalsteuerproblems und die Art, auf die es gelöst wird, unterscheiden unsere Methode von herkömmlichen Ansätzen. Die Softwareentwicklung soll auf Basis der Open-Source C++ Bibliothek MFEM (https://mfem.org) erfolgen, die wir im Rahmen dieses Projekts um eine Finite-Elemente-Toolbox für SWE-basierte Simulationen geophysikalischer Strömungen ergänzen wollen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen