Designtheorie: Extremale und probabilistische Perspektiven

• Antragsteller: Patrick Morris, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 504502205

Das Ziel der Kombinatorik ist es, diskrete Strukturen wie Graphen, Mengensysteme und ganze Zahlen, besser zu verstehen. Dabei werden häufig Techniken aus anderen Bereichen der Mathematik, wie Topologie, Algebra und Analysis, verwendet. In den letzten Jahren hat sich dieses Gebiet zu einem wichtigen Pfeiler der modernen Mathematik entwickelt. In der Tat kann die Kombinatorik einige der höchsten Auszeichnungen in der Mathematik für sich verzeichnen, darunter 3 der letzten 13 Abel-Preise, die an Szemerédi, Lovász und Wigderson gingen. Trotz ihres grundlegenden Charakters hat die Forschung in diesem Bereich zahlreiche Anwendungen, da eine Fülle von Konzepten aus allen Bereichen der Wissenschaft und insbesondere der Informatik durch diskrete Strukturen modeliert werdern kann.Im Zentrum dieses Forschungsprojekts stehen Designs, eine Klasse von diskreten Strukturen mit starken symmetrischen Eigenschaften. Diese Objekte faszinieren Mathematiker seit mehr als 200 Jahren und haben viele Anwendungen gefunden; z.B. bei der Planung biologischer Experimente oder beim Entwurf starker fehlerkorrigierender Codes für die sichere Datenübertragung. Der Großteil der Forschung im Bereich der kombinatorischen Designtheorie konzentrierte sich auf die Konstruktion konkreter Designs. Jüngste Durchbrüche haben jedoch spannende neue Perspektiven eröffnet, die ein viel tieferes Verständnis der Eigenschaften dieser Objekte ermöglichen.Das Ziel dieses Projekts ist es, diese neuen Richtungen weiter zu entwickeln, wobei der Schwerpunkt auf der Existenz großer Teilstrukturen in Designs liegt. Einerseits werde ich extremale Aspekte erforschen und untersuchen, welche großen Teilstrukturen in einem beliebigen Design notwendigerweise existieren. Andererseits werde ich von einem probabilistischen Standpunkt aus das Verhalten typischer Designs studieren. Darüber hinaus werde ich mich auch mit Fragen befassen, die diese beiden Bereiche miteinander verbinden, beispielweise mit großen Teilstrukturen in zufällig perturbierten Designs. Durch die Erforschung dieser Themen und neuer Fragestellungen in der Designtheorie wird dieses Projekt zu Erkenntnissen über einige der wichtigsten Vermutungen und offenen Probleme auf diesem Gebiet führen. Dafür, werde ich auf einer Reihe leistungsfähiger neuer Methoden aufbauen, die in der Graphentheorie entwickelt wurden. Zusätzlich greife ich auf mein eigenes Fachwissen über pseudozufällige und aufspannende Strukturen zurück und verwende Techniken für Zufalls- und sogenannte Regenbogen-probleme. Letzteres wird begünstigt durch die Zusammenarbeit mit meinem Gastgeber, der ein führender Experte auf diesen Gebieten ist. Dieses Projekt stellt somit eine entscheidende Gelegenheit für die Entwicklung meiner Karriere als junger Wissenschaftler dar und ermöglicht es mir, diesen spannenden Zweig der Designtheorie voranzutreiben, mein Wissen zu erweitern und mich als Forscher in der Kombinatorik zu etablieren.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Spanien
• Gastgeber: Professor Guillem Perarnau, Ph.D.