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Designtheorie: Extremale und probabilistische Perspektiven

Antragsteller Patrick Morris, Ph.D.
Fachliche Zuordnung Mathematik
Förderung Förderung von 2022 bis 2024
Projektkennung Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 504502205
 
Erstellungsjahr 2024

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Der Schwerpunkt dieses Forschungsprojekts lag auf der Erforschung verschiedener wichtiger Themen in der modernen extremale/probabilistischen Kombinatorik, darunter die Laufzeit von Graph-Bootstrap-Perkolationsprozessen, Ramsey-Eigenschaften von Zufallsstrukturen und die Robustheit extremaler Schwellenwerte. Um einen Eindruck von den Ergebnissen des Projekts zu vermitteln, wollen wir uns hier auf den Fall der Graph- Bootstrap-Perkolation konzentrieren, die ein Beispiel für so genannte zelluläre Automaten ist und als einfaches Modell für die Ausbreitung eines Virus in einer Population angesehen werden kann. In diesem Modell definiert man ein Netzwerk von Menschen und eine einfache Regel dafür, wie sich das Virus ausbreitet. Man könnte sich zum Beispiel vorstellen, dass jedes Mitglied der Bevölkerung jeden Tag in mehrere Aufzüge steigt und sich infiziert, wenn alle anderen Personen in einem der Aufzüge bereits infiziert sind Zur weiteren Vereinfachung legen wir Beschränkungen fest, wie z. B., dass sich in jedem Aufzug nur drei Personen befinden und die Ansammlungen von Personen, die zusammen in einem Aufzug fahren, jeden Tag gleich sind (was wir durch einen kanonischen Hypergraphen definieren, der durch Kopien eines festen Graphen, in diesem Fall Dreiecke, bestimmt wird). Obwohl dies eine grobe Vereinfachung eines realen Szenarios ist, ist die Mathematik, die sich aus solchen Modellen ergibt, bereits ein faszinierendes Gebiet, und Aspekte dieses Modells wurden gründlich untersucht. Insbesondere hat man sich mit der Frage beschäftigt, ob sich das Virus schließlich auf die gesamte Bevölkerung ausbreiten kann, wenn die anfänglich infizierte Gruppe von Menschen sehr klein oder eine zufällige Auswahl ist. Letzteres steht in engem Zusammenhang mit Schwellenphänomenen in Perkolationsprozessen, einem Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie, für den Hugo Duminil-Copain eine der jüngsten Fields-Medaillen erhielt. Weitaus weniger erforscht ist die Frage, wie lange sich das Virus ausbreiten wird. In diesem Zusammenhang hat Bollobás vor kurzem die Frage aufgeworfen, wie man für ein gegebenes Modell die längste mögliche Dauer der Ausbreitung bestimmen kann, wenn man jede mögliche Wahl der anfänglich infizierten Personen berücksichtigt. Vor unserer Arbeit war dies an einigen natürlichen Modellen untersucht worden, die das obige Beispiel verallgemeinern. Im Laufe dieses Projekts habe ich zusammen mit meinen Koautoren David Fabian und Tibor Szabó eine systematische Untersuchung dieser Frage in Graph-Bootstrap- Perkolationsmodellen begonnen. Wir haben überraschende Zusammenhänge zwischen den Regeln für die Virusausbreitung und der längsten möglichen Zeit, in der sich das Virus ausbreitet, aufgedeckt und viele weitere Fragen aufgeworfen. Interessanterweise sind wir dabei auf Verbindungen zu anderen Bereichen der extremale Kombinatorik sowie der Algebra und Zahlentheorie gestoßen und haben diese verstärkt.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

 
 

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