Galois moduli und modulare Heckealgebren

• Antragsteller: Professor Dr. Elmar Große-Klönne
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 505496389

Die grundsätzliche Zielstellung ist es, Fortschritte in zwei verwandten Forschungsprogrammen der arithmetischen Geometrie zu erzielen – der Suche nach einer mod-p-Langlandskorrespondenz und der verallgemeinerte Serre-Gewichtsvermutung. Erstere sollte die mod-p-Darstellungstheorie der absoluten Galoisgruppe Gal_F eines p-adischen Zahlkörpers F in Beziehung setzen zur mod-p-Darstellungstheorie p-adischer, über F definierter reduktiver Gruppen (wie etwa GL_n(F)). Eine zentrale Rolle sowohl im Langlandsprogramm als auch in der Serrevermutung spielt ein gewisser Galoismodulstack, konstruiert von Emerton und Gee: Ein formaler algebraischer Stack der für eine fixierte natürliche Zahl n die n-dimensionalen p-adischen Darstellungen von Gal_F parametrisiert. Den irreduziblen Komponenten der speziellen Faser können Serre-Gewichte (irreduzible mod-p-Darstellungen von GL_n(F_q), wobei F_q den Restklassenkörper von F bezeichnet) zugeordnet werden. Die lokale mod-p-Geometrie diese Stacks ist momentan weitgehend unbekannt. Einerseits wird aber erwartet, dass er sich als der Stack der L-Parameter auf der Galoisseite der Langlandskorrespondenz herausstellt. Andererseits erweist er sich als eine außerordentlich nützliche Geometrisierung gewisser Verallgemeinerungen der Serre-Gewichtsvermutung. Es wird allgemein erwartet, dass eine präzise Beschreibung der mod-p-Geometrie des Emerton-Gee-Stacks zu Durchbrüchen in der Arbeit an diesen wichtigen Vermutungen der Zahlentheorie führen wird. Die konkrete Absicht ist es demnach, die mod-p-Geometrie des Emerton-Gee-Stacks zu analysieren. Die hauptsächliche Innovation wird die Verwendung modularer Heckealgebren (Iwahori-Heckealgebren, Hecke-DGA's, modulare U_p-Operatoren) sein, um lokale Modelle für Anteile des Stacks (durch p-adische-Hodge-Theorie-Daten gegeben) zu beschreiben, oder auch Vergleichsmorphismen mit bereits bekannten Objekten der geometrischen Darstellungstheorie (Vinbergmonoide, Satakeparameter, Springerfasern) zu konstruieren. Solche Vergleichsmorphismen ermöglichen funktorielle Konstruktionen bedeutsamer Garben(komplexe) auf dem Stack, deren Invarianten (Träger, Kohomologie usw.) wichtige arithmetische Informationen bereithalten sollten. Die erforderten algebraischen und darstellungstheoretischen Werkzeuge und Methoden werden zum Teil erst zu erarbeiten sein; sie werden potentiell Anwendungen auch in anderen Forschungszweigen der Zahlentheorie finden (z.B. automorphe Formen, Iwasawa-Theorie, Shimura-Varietäten).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Partnerorganisation: Agence Nationale de la Recherche / The French National Research Agency
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Tobias Schmidt; Professor Dr. Peter Schneider
• Kooperationspartner: Professor Stefano Morra; Dr. Cedric Pepin