Erfüllbarkeit und Gruppenringe

• Antragsteller: Professor Dr. Giles Gardam
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 506523109

Gruppenringe sind zentrale Objekte in vielen Bereichen der Mathematik einschließlich Algebra, Topologie, Operator-Algebren und Darstellungstheorie. Grundlegende Fragen darüber bleiben offen, insbesondere einige Vermutungen, die Kaplansky zugeschrieben sind. Für torsionsfreie Gruppen und Körperkoeffizienten sagt die Nullteiler-Vermutung voraus, dass es keine Nullteiler außer der Null im Gruppenring gibt, wobei die Idempotent-Vermutung voraussagt, dass 0 und 1 die einzigen idempotenten Elemente sind. Die Direkte-Endlichkeit-Vermutung sagt, dass linksinvertierbare Elemente in Gruppenringen beliebiger Gruppen mit Körperkoeffizienten stets invertierbar sind. Diese Vermutungen haben eine Geschichte, die mehr als 80 Jahre umfasst. Obwohl Sonderfälle bewiesen sind, schien eine vollständige Antwort auf irgendeine dieser Vermutungen außer Reichweite bis zur frischen Widerlegung der eng verbundenen Einheitsvermutung.Ziel dieses Projekts ist es, Gegenbeispiele zur Nullteiler-Vermutung und zur Direkte-Endlichkeit-Vermutung zu konstruieren. Letzteres führt notwendigerweise zum ersten Beispiel einer nicht-sofischen Gruppe. Wir streben auch die Widerlegung der Einheitsvermutung in Charakteristik Null an. Entscheidend für unseren Ansatz ist die Anwendung moderner Löser für boolesche Erfüllbarkeit. Dieser Paradigmenwechsel, der schon erfolgreich gegen die Einheitsvermutung eingesetzt wurde, zeigt, dass diese Probleme wesentlich anfälliger zu rechnerischen Methoden sind als vorher gedacht. Die Konstruktion unserer Gegenbeispiele benötigt sowohl die Weiterentwicklung unserer Kenntnis zu Kandidatengruppen und ihren Eigenschaften als auch die Entwicklung eines Toolkits zur effizienten Anwendung bestehender Technologie. Die Eindeutiges-Produkt-Eigenschaft schließt die Existenz solcher Gegenbeispiele zu diesen Vermutungen aus und ist dementsprechend von großem Interesse. Wir werden grundlegende Fragen über diese Eigenschaft beantworten.Obwohl der Schwerpunkt auf dem Fall von positiver Charakteristik liegt, wird dieses Projekt bedeutende Vorarbeit zur Konstruktion von Gegenbeispielen in Charakteristik Null zu den Nullteiler- und Idempotent-Vermutungen und somit zu den Vermutungen von Atiyah, Baum-Connes und Farrell-Jones leisten.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen