STICKS - Stochastische Mikado-Flüsse in der Fluidmechanik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das Hauptziel dieses Projekts, welches am Courant Institute of Mathematical Sciences der New York University in der Gruppe von Prof. Vlad Vicol durchgeführt wurde, war die Untersuchung der Nicht-Eindeutigkeit für Gleichungen der stochastischen Fluiddynamik. Diese Klasse von Gleichungen stellt einen interessanten Testfall für neuere deterministische Ergebnisse zur Nicht-Eindeutigkeit dar, da Rauschen oft eine regularisierende Wirkung hat. In gewisser Weise ist es daher oft einfacher, dass eine Lösung einer Gleichung mit Rauschen eindeutig ist, im Vergleich zur Gleichung ohne Rauschen. Die untersuchten Gleichungen sind in der Fluiddynamik, Klimawissenschaft, Ingenieurwissenschaft und vielen angrenzenden Bereichen der Wissenschaft und Technologie von Bedeutung. Die Methode, die in diesem Projekt zur Beweisführung der Nicht-Eindeutigkeit verwendet wurde, heißt konvexe Integration. Sie hat ihren Ursprung in der Differentialgeometrie (in Arbeiten von Nash und Gromov, unter anderen) und wurde in den letzten 15 Jahren mit großem Erfolg in der (deterministischen) Fluiddynamik angewandt, insbesondere durch De Lellis und Székelyhidi sowie Buckmaster und Vicol. Die Methode besteht darin, Lösungen der nichtlinearen Gleichungen als Summen von Bausteinen mit schnell zunehmender Frequenz (und abnehmender Amplitude) zu konstruieren, die geometrisch korrekt gewählt werden, um mit der Nichtlinearität umzugehen. In den letzten etwa fünf Jahren wurde diese Methode von mehreren Forschenden (inspiriert durch die Pionierarbeiten von Hofmanová, Zhu und Zhu und anderen) auf durch Rauschen gestörte Gleichungen angewandt. Wie oben erwähnt, neigen diese Gleichungen dazu, stärkere Eindeutigkeitsaussagen zu besitzen, sodass man erwartet, dass der Beweis der Nicht-Eindeutigkeit schwieriger ist. Eines der Ziele des Projekts war es daher, die Spannungen zwischen diesen Phänomenen (Nicht-Eindeutigkeit durch konvexe Integration, Eindeutigkeit durch Rauschen) zu untersuchen und idealerweise die Grenzen der “eindeutigen” und “nicht-eindeutigen” Regime dieser Techniken zu kartieren. Das erste Ergebnis, zusammen mit Stefano Modena, stellte die bisher vollständigste “Kartierung” einer solchen Grenze für den einfacheren Fall der (stochastischen) Transportgleichung, gestört durch Transportrauschen, auf, einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung. Wir konnten die Literatur ergänzen, indem wir einen Parameterbereich untersuchten, in dem Nicht-Eindeutigkeit mit der Methode der konvexen Integration bewiesen werden kann. Das zweite Ergebnis, in Zusammenarbeit mit Marco Rehmeier und Theresa Lange, betrifft die fraktionalen Navier–Stokes-Gleichungen, die durch Transportrauschen für sehr kleine fraktionale Exponenten gestört sind. Hier konnten wir zeigen, dass Nicht-Eindeutigkeitsaussagen sogar in der Klasse der Leray–Hopf-Lösungen (im Gegensatz zu “nur” schwachen Lösungen) erzielt werden können. Um dies zu beweisen, mussten wir den Einfluss der Energie im Beweis sehr genau verfolgen sowie einige neue technische Probleme lösen. Dies ist das erste Nicht-Eindeutigkeitsresultat in diesem Kontext.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Local Nonuniqueness for Stochastic Transport Equations with Deterministic Drift. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 56(4), 5209-5261.
Modena, Stefano & Schenke, Andre
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Non-uniqueness of Leray–Hopf solutions for the 3D fractional Navier–Stokes equations perturbed by transport noise
Theresa Lange, Marco Rehmeier & Andre Schenke
