Über hyperfaktorisierende und rekursiv faktorisierende Arrangements

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 508852336

Die Theorie der Hyperebenenarrangements ist seit Jahrzehnten eine treibende Kraft in der Mathematik. Sie liegt im Schnittbereich von Algebra, Kombinatorik, algebraische Geometrie und Topologie. Das hier vorgelegte Forschungsvorhaben befasst sich mit dem Zusammenspiel von kombinatorischen und geometrischen Aspekten.Das vorgestellte Forschungsvorhaben ist dreiteilig. Die Teile beziehen sich auf das Addition-Deletion-Theorem für faktorisierende Arrangements, das auf Hoge und Röhrle zurückgeht.In Analogie zum berühmten Addition-Deletion-Theorem für freie Arrangements von Terao, das zu den stärkeren Begriffen der induktiven und rekursiven Freiheit führt, motiviert das obige Theorem die Klassen von induktiv faktorisierenden und rekursiv faktorisierenden Arrangements. Während das Konzept von induktiven Faktorisierungen in der Literatur allgemein, und für Spiegelungsarrangents bereits untersucht wurde, ist der Begriff einer rekursiven Faktorisierung völlig neu.Das erste Projekt thematisiert eine detaillierte Untersuchung dieser neuen Klasse von Arrangements. Ein Ziel ist ein Analogon eines Satzes von Jambu und Paris für induktive Faktorisierungen, nämlich dass die Präsenz einer rekursiven Faktorisierung bereits rekursive Freiheit impliziert. Rekursive Freiheit ist notorisch schwer fassbar. Wahrscheinlich ist dies auch für rekursive Faktorisierungen der Fall. Unsere Hoffnung ist es, Beispiele für rekursiv faktorisierende Arrangements zu konstruieren, die nicht induktiv faktorisierend sind. Ziele sind auch Ergebnisse zur Kompatibilität innerhalb dieser neuen Klasse mit kanonischen Konstruktionen wie Produkten und Lokalisierungen.Zweitens untersuchen wir die Familie der hyperfaktorisierenden Arrangements, die auch von Jambu und Paris eingeführt wurde. Unser Ziel ist hier ein Analogon des oben erwähnten Addition-Deletion-Theorems für faktorisierende Arrangements für diese spezielle Klasse reeller Arrangements. In ihrer Arbeit zeigten Jambu und Paris, dass reelle induktiv faktorisierende Arrangements hyperfaktorisierend sind, und stellten die Frage nach der Umkehrung. Wir hoffen, dass ein expliziter rechnerischer Ansatz zu Beispielen für hyperfaktorisierende Arrangements führen wird, die nicht induktiv faktorisiert sind. Dies würde beweisen, dass sich diese beiden Klassen unterscheiden. Wir diskutieren natürliche Klassen von Arrangements, die für solche Beispiele prädestiniert sind.Einige Beweise in der Arbeit von Jambu und Paris, die eine Hyperfaktorisierung betreffen, nutzen nicht den vollen Umfang der Voraussetzung, dass die Partition eine Faktorisierung darstellt, sondern dass diese lediglich die schwächere Eigenschaft erfordern, dass die Partition zusammen mit einer Wahl einer Basiskammer eine Bijektion zwischen dem Kammerposet des Arrangements und einem kombinatorisch definierten Poset liefert. Dies führt zu einem potenziell allgemeineren Begriff. Im dritten Vorhaben soll diese neue Klasse untersucht werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen