Form- und Topologieoptimierung unter nichtlinearer Unsicherheit

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Benedikt Kriegesmann
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 508865334

Das Projekt adressiert die Strukturoptimierung unter Unsicherheit bei großskaligen Problemen mit einer hohen Anzahl an Zufallsvariablen. Viele Methoden zur probabilistischen Analyse (z.B. Monte Carlo Methoden, numerische Integration, Ersatzmodelle) skalieren meist mit der Anzahl der Zufallsvariablen, was bei hochdimensionalen Problemen zu einer impraktikablen Rechenzeit führt. Zur Überwindung dieses Problems werden Methoden basierend auf Taylor-Approximationen erster Ordnung verwendet, welche nur genau zwei Funktionsauswertungen benötigen, unabhängig von der Anzahl an Design- oder Zufallsvariablen. Allerdings führt die geringe Ordnung dieser Approximation häufig zu ungenauen Ergebnissen, wodurch sich ggf. Optimierungen unter Unsicherheit kaum von deterministischen Optimierungen unterscheiden. In vielen Anwendungen ist die Rechenzeit von Finite-Elemente-Analysen dominiert, während das Preprocessing – beispielsweise die Berechnung des Elastizitätsmoduls aus Elementdichten in der Topologieoptimierung – nahezu kostenfrei ist. Auf der anderen Seite enthalten diese Preprocessing-Schritte oftmals hochgradig nichtlineare Funktionen, die im Rahmen der Taylor-Approximation erster Ordnung zwangsläufig linearisiert werden und so zu wesentlichen Ungenauigkeiten der probabilistischen Analyse beitragen. Der neue Ansatz des Projekts besteht darin, zunächst aus den streuenden Eingangsdaten die Streuung geeignet gewählter Zwischenparameter zu berechnen und anschließend die probabilistische Analyse erst ab diesen Zwischenparametern mittels Taylor-Approximation erster Ordnung durchzuführen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Betrachtung eines streuenden Projektionsparameters, aus welchem die stochastischen Eigenschaften des Elastizitätsmoduls errechnet werden. Dieser E-Modul wird anschließend als neue streuende Größe genutzt. Dadurch werden Fehler durch lineare Approximationen im Preprocessing vermieden. Da das Preprocessing nur geringfügigen Rechenaufwand benötigt und somit die Berechnung der Streuung der Zwischenparameter effizient erfolgen kann, bleibt der zusätzliche Rechenaufwand überschaubar. Ziel der Arbeit ist die Entwicklung analytischer Umrechnungen von streuenden Primärgrößen zu streuenden Zwischenparametern oder, falls dies nicht möglich ist, die Suche nach guten Approximationen. Dabei ist der Aspekt der Skalierbarkeit von entscheidender Bedeutung. Der entwickelte Ansatz soll auf streuende Lastwinkel, Projektionsparameter, Materialorientierungen anisotroper Werkstoffe sowie auf unsichere Knotenkoordinaten angewandt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen