Algebro-geometrische Methoden in der Theorie von Yang-Baxter Gleichungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Dieses Projekt war auf die Entwicklung algebro-geometrischer Methoden in der Theorie von Yang-Baxter-Gleichungen fokussiert. Die Resultate können in zwei Teile aufgeteilt werden. In dem ersten Teil wurden signifikante Beiträge zu der Strukturtheorie von nicht-assoziativen Bialgebren erzielt, während sich der zweite Teil mit der Entwicklung von neuen Quantengruppen-theoretischen Methoden in der geometrischen Langlands-Korrespondenz befasste. Der erste Teil basierte auf der algebro-geometrischen Theorie der klassischen Yang-Baxter-Gleichung. In einer gemeinsamen Arbeit mit A. Stolin, S. Maximov und E. Zelmanov, haben wir diese Theorie benutzt, um topologische Lie-Bialgebrastrukturen auf formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in einer einfachen Lie-Algebra zu klassifizieren. Auf dieser Arbeit aufbauend, habe ich eine ähnliche Klassifikation für nicht-assoziative Analoga solcher Bialgebrastrukturen hergeleitet. Darüber hinaus haben die Ergebnisse der eben erwähnten gemeinsamen Arbeit die Betrachtung zweier Verallgemeinerungen von Lie-Bialgebren im Rahmen von formalen Potenzreihen motiviert, nämlich die von Lie- Quasibialgebren und Lie-Dialgebren. Zusammen mit S. Maximov und A. Stolin konnten wir in zwei darauffolgenden Veröffentlichungen auch klassifizierende Ergebnisse für diese Verallgemeinerungen erzielen. Die Entwicklung von Quantengruppen-theoretischen Methoden in der geometrischen Langlands-Korrespondenz entstand aus dem Versuch, die algebro-geometrischen Methoden für Yang-Baxter-Gleichungen ins höhere Geschlecht zu ubertragen. Ich konnte zeigen, dass eine Lösung einer dynamischen klassischen Yang-Baxter-Gleichung, welche ursprünglich von Felder in dem Kontext einer konformen Feldtheorie konstruiert wurde, die r-Matrix ist, welche die Integrabilität eines punktierten Hitchin-Systems kontrolliert. Des Weiteren habe ich erklärt, wie diese r-Matrix im Zuge einer natürlichen Verallgemeinerung des algebro-geometrischen Ansatzes für die klassische Yang-Baxter-Gleichung verstanden werden kann und setze es mit der Beilinson-Bernstein-Quantisierung des Hitchin-Systems in Verbindung, welche essenziell für deren Ansatz zur geometrischen Langlands-Korrespondenz ist. In einer Kollaboration mit W. Niu, welche von einer 4d-Eichfeldtheorie motiviert wurde, haben wir die Geometrie von äquivarianten affinen Graßmann-Mannigfaltigkeiten mit dem Yangian von kontangentialen Lie-Algebren in Verbindung gebracht und wir konnten Lösungen der Quanten-Yang-Baxter-Gleichung daraus konstruieren. Danach sind diese beiden Forschungsrichtungen in einer weiteren Arbeit mit W. Niu zusammengekommen. Es ist bekannt, dass die äquivariante Graßmann-Mannigfaltigkeit auf den Modulraum von G-Bündeln mittels Hecke Modifikationen wirkt, was zentral in der geometrischen Langlands- Korrespondenz ist. Wir konnten die Hecke Modifikation lokal mithilfe des eben genannten Yangian beschreiben, indem wir einen dynamischen Twist des Yangian in einen Quantengruppoiden über einer lokalen Umgebung des Moulraums von G-Bündeln konstruiert haben. Darüber hinaus haben wir eine Lösung der dynamischen Quanten-Yang-Baxter- Gleichung konstruiert, welche im Wesentlichen die zuvor genannte r-Matrix des Hitchin-Systems quantisiert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Classification of D-bialgebra structures on power series algebras. Journal of Algebra, 635, 137-202.
Abedin, Raschid
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Topological Manin pairs and (n,s)-type series. Letters in Mathematical Physics, 113(3).
Abedin, Raschid; Maximov, Stepan & Stolin, Alexander
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Quantum groupoids from the moduli space of G-bundles.
VII. R. Abedin & W. Niu
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Topological Lie Bialgebras, Manin Triples and Their Classification Over g[[x]]. Communications in Mathematical Physics, 405(1).
Abedin, Raschid; Maximov, Stepan; Stolin, Alexander & Zelmanov, Efim
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Yangians for cotangent Lie algebras and the affine Grassmannian. Journal of Physics: Conference Series, 2912(1), 012024.
Abedin, Raschid & Niu, Wenjun
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Generalized classical Yang-Baxter equation and regular decompositions. Letters in Mathematical Physics, 115(3).
Abedin, R.; Maximov, S. & Stolin, A.
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The r-Matrix Structure of Hitchin Systems via Loop Group Uniformization. Annales Henri Poincaré.
Abedin, Raschid
