Multifraktale Analyse für g-Maße und singuläre Potentiale
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Vom Romanesco-Blumenkohl, über Schneeflocken bis hin zu Erdbeben und der Britischen Küste - Fraktale sind omnipräsent. Sie spielen eine wichtige Rolle in unterschiedlichen wissenschaftlichen Disziplinen wie Biologie, Medizin, Physik, Chemie und Mathematik. Charakteristisch für Fraktale ist ihre Selbstähnlichkeit und eine komplexe Struktur, die auf verschiedenen Skalen sichtbar ist. In mehreren mathematischen Gebieten, wie Zahlentheorie oder dynamischen Systemen, erhalten wir Fraktale, wenn wir alle Punkte mit dem gleichen quantitativen Verhalten mit der selben Farbe versehen. Zeigen wir alle Farben parallel an, erhalten wir sogar ein Multifraktal - eine ganze Familie von Fraktalen. Dies geschieht z.B. wenn wir eine Observable (wie Temperatur) in einem dynamischen System wiederholt auswerten, und den Ausgangszustand gemäß dem Mittelwert einfärben. In diesem Projekt untersuchen wir das zugehörige Multifraktal unter der Annahme, dass die Observable beliebig große Werte annehmen kann. Dabei erweitern wir bekannte Techniken und zeigen neue Phänomene auf. Im zweiten Teil des Projekts nutzen wir diese erweiterten Techniken in fraktaler Geometrie, um selbstähnliche Strukturen aus dem Bereich der aperiodischen Ordnung und der Zahlentheorie zu untersuchen und zu kategorisieren. Insbesondere vertiefen wir so unser Verständnis der paradigmatischen Thue–Morse Folge und der Klasse von regulären Folgen. Weitere Anwendungsfelder sind mathematische Modelle für Quasikristalle, die bekannte Penrose-Pakettierung und die neulich entdeckte Hut-Pakettierung, die mit ihrer aperiodischen Protokachel für Aufsehen sorgte. Wir erweitern auch das Verständnis von ZufallsSubstitutionen, einer probabalistischen Prozedur, die Fraktale mit ungewöhnlich komplexen Strukturen erzeugt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
-
Spectral theory of regular sequences: parametrisation and spectral characterisation.
M. Coons, J. Evans, P. Gohlke & N. Maibo
-
A classification of intrinsic ergodicity for recognisable random substitution systems
P. Gohlke & A. Mitchell
-
Fast Dimension Spectrum for a Potential with a Logarithmic Singularity. Journal of Statistical Physics, 191(3).
Gohlke, Philipp; Lamprinakis, Georgios & Schmeling, Jörg
-
Orbit separation dimension as complexity measure for primitive inflation tilings. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 45(10), 2992-3020.
BAAKE, MICHAEL; GÄHLER, FRANZ & GOHLKE, PHILIPP
-
Rauzy fractals of random substitutions. Advances in Mathematics, 485, 110713.
Gohlke, P.; Mitchell, A.; Rust, D. & Samuel, T.
