Automorphismengruppen von affinen sphärischer Varietäten: Geometrie und Kombinatorik

• Antragsteller: Dr. Andriy Regeta
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 509752046

In diesem Projekt werden wir die Symmetriegruppe geometrischer Objekte untersuchen, die aus der algebraischen Ursprungs sind. Diese werden affine (algebraische) Varietäten genannt. Genauer gesagt ist eine affine Varietät die Menge aller Nullstellen einer endlichen Familie von Polynomen mit komplexen Koeffizienten in n Variablen im komplexen euklidischen Raum C^n. Eine Symmetrie einer affinen Varietät, die die algebraisch-geometrische Struktur bewahrt, wird als Automorphismus bezeichnet. Alle Automorphismen bilden eine Gruppe, deren Struktur Gegenstand unserer Forschung ist. Da „die meisten“ affinen Varietäten eine triviale Automorphismengruppe besitzen, werden wir nur diejenigen betrachten, die eine „reiche“ Gruppe von Automorphismen haben. Die wohl wichtigste Klasse solcher Varietäten ist die Familie der affinen sphärischen Varietäten. Ein besonderes Beispiel für affine sphärische Varietäten sind affine torische Varietäten. Dabei handelt es sich, grob gesagt, um affine n-dimensionale Varietäten, die mit einer treuen Operation eines algebraischen Torus (C^*)^n ausgestattet sind. Diese affinen Varietäten und insbesondere ihre Kombinatorik haben in den letzten Jahrzehnten viel Aufmerksamkeit erfahren. Eine der wichtigsten Eigenschaften der Automorphismengruppe einer affinen sphärischen Varietät X ist, dass X eine treue Operation einer algebraischen Gruppe beliebiger Dimension zulässt, falls X vom algebraischen Torus verschieden ist. Mit anderen Worten hat die Automorphismengruppe Aut(X) von X unendliche Dimension, d.h. Aut(X) hat eine reiche Struktur. Daher kann man hoffen, X aus der Gruppe Aut(X) zu bestimmen. Daher werden wir gemeinsam mit Immanuel van Santen (Universität Basel) folgendes zeigen: Wenn Y eine affine Varietät ist, die regelmäßig genug ist, so dass Aut(Y) isomorph zu Aut(X) ist, dann ist Y isomorph zu X. Da wir an der Struktur der Automorphismengruppen affiner torischer Varietäten interessiert sind, werden wir ihre algebraischen Untergruppen und Verbände untersuchen. Es ist ein klassisches Ergebnis, dass jeder Subtorus einer algebraischen Gruppe G zu einem Subtorus eines festen maximalen Subtorus von G konjugiert ist. In diesem Sinne untersuchen wir gemeinsam mit Jürgen Hausen (Universität Tübingen) und Hendrik Süß (Universität Jena) Subtori der Automorphismengruppe einer affinen torischen Varietät. Inspiriert von Ergebnissen zu Gittern einfacher algebraischer Untergruppen von Serre, Margulis et al. werden wir darüber hinaus zusammen mit Serge Cantat (Universität Rennes) und Junyi Xie (Universität Peking) zu SL_n(Z) isomorphe Gitter innerhalb der Automorphismengruppen n-dimensionaler affiner Varietäten untersuchen. Insbesondere werden wir zeigen, dass fast alle diese Varietäten torisch sind und diese Varietäten durch ihre Automorphismengruppen bestimmt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen