Die Kohomologie von linksinvarianten involutiven Strukturen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Der Fokus dieses Projekts liegt auf dem Studium von linksinvarianten involutiven Strukturen auf kompakten Lie-Gruppen. Diese Strukturen werden durch linksinvariante komplexe Unterbündel des komplexifizierten Tangentialbündels definiert, die unter der Lie-Klammer abgeschlossen sind. Sie verallgemeinern die Begriffe komplexer und CR-Strukturen. Solche Strukturen sind relevant in der Differentialgeometrie, der Darstellungstheorie und im Studium mehrerer komplexer Variablen. Ein wichtiger Teil der Arbeit ist die Entwicklung von Techniken, um verschiedene Begriffe von Kohomologieräumen, die zu involutiven Strukturen assoziiert sind, miteinander in Beziehung zu setzen. Die zentrale Frage ist, ob die globale Kohomologie des durch die involutive Struktur definierten Differentialkomplexes nur mit linksinvarianten Formen berechnet werden kann. Für kompakte Lie-Gruppen gilt dies im Fall der De-Rham-Kohomologie (ein klassisches Resultat von Chevalley und Eilenberg) und der Dolbeault-Kohomologie (ein Resultat von Pittie). Im Allgemeinen ist dies jedoch noch unbekannt. Die Hauptresultate des Projekts beinhalten die Erweiterung dieser Resultate in zwei Richtungen: den elliptischen Fall und den CR-Fall. Parallel dazu wurde in dem Projekt die Analysis von Differentialoperatoren, welche natürlich zu diesen Strukturen assoziiert werden können, untersucht. Über die erzielten Ergebnisse hinaus nennt der Bericht auch zukünftige Forschungsrichtungen, wie die vertiefte Analyse des essentiell reellen Falls und die Erforschung globaler Index-Theorie, mit dem Ziel, die bisherigen Ergebnisse zu verallgemeinern. Zusammenfassend hat das Projekt das Verständnis der Beziehung zwischen linksinvarianten involutiven Strukturen und globaler Analysis auf Lie-Gruppen vertieft und liefert sowohl grundlegende Resultate als auch Werkzeuge für zukünftige Forschung in der Differentialgeometrie, Lie-Theorie und Analysis partieller Differentialgleichungen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Levi-flat CR structures on compact Lie groups. Annals of Global Analysis and Geometry, 64(1).
Jacobowitz, Howard & Jahnke, Max Reinhold
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Global solvability and cohomology of tube structures on compact manifolds. Mathematische Annalen, 390(2), 2199-2233.
Araújo, Gabriel; Ferra, Igor A.; Jahnke, Max R. & Ragognette, Luis F.
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A class of globally analytic hypoelliptic operators on compact Lie groups. The Journal of Geometric Analysis, 35(9).
Jahnke, Max Reinhold & Braun Rodrigues, Nicholas
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Closed elliptic structures on compact semisimple Lie groups. Proceedings of the American Mathematical Society, 154(5), 2221-2234.
Jahnke, Max Reinhold
