Konfigurationen von sphärischen Twists und derivierte Picardgruppen von Brauergraphalgebren

• Antragstellerin: Dr. Alexandra Zvonareva, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2022 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 512295948

Das Zusammenspiel zwischen symplektischer Geometrie und Darstellungstheorie war in den letzten Jahren sehr fruchtbar und führte zu signifikanten Fortschritten im Verständnis der Struktur derivierter Kategorien, ihrer Äquivalenzklassifikation und der Autoäquivalenzgruppen einer wichtigen und zugänglichen Testklasse ("gentle algebras"). Dieses Projekt zielt darauf ab, diese Verbindung in der Untersuchung von Brauergraphalgebren und ihren graduierten Analoga weiter zu nutzen und auszubauen. Brauergraphalgebren sind wichtig in der modularen Darstellungstheorie. Jedem in eine Fläche Σ_Γ (minimal) eingebetteten Graphen Γ, dessen Ecken mit Vielfachheiten ausgestattet sind, kann eine Brauergraphalgebra B_Γ zugeordnet werden.Der Zusammenhang zwischen Brauergraphalgebren und symplektischer Geometrie wurde erstmals in meiner gemeinsamen Arbeit mit S.Opper untersucht. Dort führten wir eine Klasse von A-unendlich-Kategorien ein, die Brauergraphalgebren enthalten. Diese A-unendlich-Kategorien sind quasi-äquivalent zu trivialen Erweiterungen von partially wrapped Fukaya-Kate-gorien von Flächen mit Rand. Die Untersuchung dieser Klasse von A-unend-lich-Kategorien führte zu einer vollständigen Bestimmung der derivierten Äquivalenzklassen gewöhnlicher Brauergraphalgebren.Derivierte Picardgruppen oder Autoäquivalenzgruppen derivierter Kategorien von Brauergraphalgebren und ihrer graduierten Analoga sind von besonderem Interesse, da projektive Moduln über Brauergraphalgebren mit trivialen Vielfachheiten Konfigurationen von sphärischen Objekten liefern. Sphärische Objekte in "enhanced" triangulierten Kategorien induzieren Autoäquivalenzen, die man als sphärische Twists bezeichnet. Sie wurden von Seidel und Thomas (motiviert durch Kontsevichs homological mirror symmetry) eingführt, als Gegenstücke zu verallgemeinerten Dehn-Twists, die Lagrange-Sphären entsprechen. Das Ziel des Projekts ist es, Autoäquivalenzgruppen derivierter Kategorien von Brauergraphalgebren und ihrer graduierten Analoga zu untersuchen. Diese Gruppen sind generell sehr schwer zugänglich, und nur wenige Fälle wurden untersucht. Im Rahmen des Projekts plane ich: 1) die durch sphärische Twists entlang projektiver Moduln einer graduierten Brauergraphalgebra B_Γ erzeugte Untergruppe der Autoäquivalenzgruppe zu untersuchen und zu zeigen, dass diese Untergruppe zur Zopftwistgruppe der Oberfläche Σ_Γ isomorph ist; 2) innere Formalität graduierter Brauergraphalgebren zu untersuchen, um die in (1) erhaltenen Ergebnisse auf jede "enhanced" triangulierte Kategorie mit einer geeigneten Konfiguration sphärischer Objekte zu übertragen (vermutlich kommen solche Kategorien als bestimmte Fukaya-Kategorien und in der Untersuchung von Cluster-Kategorien vor);3) eine vollständige Beschreibung von Autoäquivalenzgruppen der beschränkten derivierten Kategorie von Brauergraphalgebren mittels bestimmter Untergruppen der Abbildungsklassengruppe von Σ_Γ, Verschiebung und äußerer Automorphismen von B_Γ zu erhalten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen