Eigenwert-Null-Bifurkationen in chemischen Reaktionsnetzwerken

• Antragsteller: Dr. Nicola Vassena
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Bioinformatik und Theoretische Biologie
• Förderung: Förderung von 2022 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 512355535

• Erstellungsjahr: 2025

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Chemische Reaktionen wandeln Edukte in Produkte um, und vernetzte Reaktionen bilden ein Reaktionsnetzwerk. Die Fähigkeit solcher Netzwerke, Multistationarität und Oszillationen zu zeigen, ist zentral für das Verständnis ihres Verhaltens. Multistationarität steuert epigenetische Prozesse wie die Zelldifferenzierung, während Oszillationen Stoffwechselzyklen, zirkadiane Rhythmen und andere biologische Funktionen regulieren. Dieses Projekt entwickelte effiziente Methoden zur Erkennung von Multistationarität und Oszillationen, indem strukturelle, netzwerkbasierte Bedingungen für Bifurkationen untersucht wurden, die diese Phänomene hervorrufen. Der Fokus lag auf Gleichgewichtsbifurkationen mit einem Eigenwert null der Jakobi-Matrix, um Kernmechanismen der Systemdynamik zu verstehen. Um den Mangel an präzisen quantitativen Daten zu adressieren, führte das Projekt ein allgemeines mehrskaliges Rahmenwerk auf Basis der parameterreichen Kinetik ein. Dieser Ansatz betrachtet Gleichgewichtswerte als unabhängig von ihrer Linearisierung, was durch gängige kinetische Modelle wie die Michaelis–Menten-Kinetik erfüllt wird. In diesem Rahmen wurden strukturelle Netzwerkbedingungen für nicht-hyperbolische Gleichgewichte mit Eigenwert null oder rein imaginären Eigenwerten bestimmt. Auch Bedingungen zur algebraischen und geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts null wurden untersucht. Beachtlicherweise identifizierte ich einen pathologischen Fall, in dem die Jakobi-Matrix stets einen Eigenwert null besitzt, der jedoch immer doppelt auftritt, unabhängig von der Wahl der Parameter. Dies zeigt, dass allein die Netzwerkstruktur Einschränkungen auf generische Erwartungen auferlegen kann. Für einfache Eigenwerte null wurde die nichtlineare Entfaltung einer Sattel-Knoten-Bifurkation detailliert analysiert, mit hinreichenden Bedingungen und expliziten Bifurkationsparametern. Interdisziplinär wurden diese Ergebnisse mit biochemischen Konzepten verknüpft. Autokatalyse wird traditionell mit komplexer Dynamik wie überlinearem Wachstum und periodischen Oszillationen in Verbindung gebracht. Unsere Ergebnisse bestätigen, dass Autokatalyse immer ausreicht, um Instabilität im Gleichgewicht zu erzeugen, aber nicht notwendig ist. Zudem wurden die Methoden auf mathematische Epidemiologie angewandt, wobei gezeigt wurde, dass nahezu alle epidemiologischen Modelle unter bestimmten monotonen Wechselwirkungen periodische Oszillationen aufweisen können. Das Projekt umfasste auch weitere unabhängige Untersuchungen. Erstens wurde ein neuer Bifurkationsmechanismus beschrieben, bei dem periodische Orbits ohne Referenzgleichgewicht entstehen, indem eine Drift entlang einer Linie von Gleichgewichten mit wechselnder Stabilität eingeführt wird. Zweitens wurden neue Kriterien für Hopf-Bifurkationen und periodische Oszillationen in Massenwirkungssystemen entwickelt, die ohne die aufwendigen Routh–Hurwitz-Bedingungen auskommen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Structural Conditions for Saddle-Node Bifurcations in Chemical Reaction Networks. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 22(3), 1639-1672.
  Vassena, Nicola
  
• Structural obstruction to the simplicity of the eigenvalue zero in chemical reaction networks. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 47(4), 2993-3006.
  Vassena, Nicola
  
• Finding bifurcations in mathematical epidemiology via reaction network methods. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 34(12).
  Vassena, N.; Avram, F. & Adenane, R.
  
• Unstable cores are the source of instability in chemical reaction networks. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 480(2285).
  Vassena, Nicola & Stadler, Peter F.
  
• Hybrid bifurcations: periodicity from eliminating a line of equilibria. Mathematische Annalen, 391(4), 6373-6399.
  López-Nieto, Alejandro; Lappicy, Phillipo; Vassena, Nicola; Stuke, Hannes & Dai, Jia-Yuan
  
• Mass Action Systems: Two Criteria for Hopf Bifurcation Without Hurwitz. SIAM Journal on Applied Mathematics, 85(3), 1046-1066.
  Vassena, Nicola
  
• Symbolic hunt of instabilities and bifurcations in reaction networks. Discrete and Continuous Dynamical Systems - B, 30(6), 2183-2208.
  Vassena, Nicola