Dualität in der unendlichen Kombinatorik

• Antragsteller: Dr. Attila Joó
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 513023562

In der endlichen Kombinatorik ist Dualität ein gut erforschtes Konzept, hierfür boten die lineare Programmierung und total unimodulare Matrizen ein gutes Gerüst, um Minimax-Aussagen zu beweisen. Paul Erdős stellte fest, dass die bekannten Theoreme von König und Menger auch für unendliche Graphen wahr sind, indem man Kardinalzahlen statt natürlichen Zahlen verwendet. Diese Version hat allerdings nicht die selben strukturellen Konsequenzen wie die endlichen Theoreme, also stellte er Vermutungen auf, wie die "richtige" Verallgemeinerung der Theoreme lautet. Um bedeutendere und tiefgreifendere Verallgemeinerungen zu erhalten, müssen die korrespondierenden unendlichen Theoreme die kombinatorische Struktur der Dualität erfassen, statt das grobe Maß von Kardinalzahlen zu verwenden. Der Beweis der sogenannten Erdős-Menger-Vermutung durch Aharoni und Berger gelang einige Jahrzehnte (und viele Teilergebnisse) später und wird als einer der größten Erfolge der unendlichen Graphentheorie angesehen. Trotz der Beantwortung der oben genannten (und einiger anderer) Fragestellungen in diesem Bereich, gibt es viele verwandte Fragestellungen die weiterhin unbeantwortet sind. Diese stellen den Kern unseres Projekts dar. Es wird vermutet, dass bekannte endliche Minimax-Theoreme sich entsprechend verallgemeinern lassen. In 1966 stellte Rado die Frage, ob es möglich wäre, das Konzept eines Matroids ins Unendliche zu erweitern, ohne dabei die im Endlichen essentiellen Eigenschaften der Dualität und der Minoren zu verlieren. Ausgehend von den Arbeiten von Oxley und Higgs wurde diese Fragestellung von Bruhn, Diestel, Kriesell, Pendavingh und Wollan positiv beantwortet. Nash-Williams hat eine Vermutung über eine Verallgemeinerung des Matroidenschnitt-Theorems von Edmonds aufgestellt, diese wird als die wichtigste offene Frage des Fachgebiets aufgefasst. Für abzählbare Matroide wurde dies von dem Bewerber bewiesen, der allgemeine Fall ist allerdings noch unbeantwortet und ist eines der Primärziele dieses Projekts. Ebenfalls vermutet wird eine strukturelle Verallgemeinerung für unendliche Graphen von Theoreme von Lovász, Cherkassky, Mader und Gallai über das Packen bestimmter Wege in Graphen. Ein weiteres Ziel dieses Vorhabens ist es, diese Fragen zu beantworten. Ein Teilergebnis gibt es bereits: Für das Theorem von Lovász und Cherkassky konnten wir schon abzählbare Graphen beweisen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen