Effiziente, strukturerhaltende Verfahren hoher Ordnung für nichtlineare Evolutionsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Hendrik Ranocha
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 513301895

Viele Probleme in den Natur- und Ingenieurswissenschaften werden mit Evolutionsgleichungen modelliert. Einige Beispiele solcher nicht linearer partieller Differentialgleichungen sind großskalige astrophysikalische Plasmen, Luftströmungen um Fahrzeuge, Wasserwelle, biologische Systeme und Halbleiter. Trotz der Vielfalt ihrer Anwendungen weisen Evolutionsgleichungen oft einige gemeinsame Strukturen auf. Das qualitative Verhalten von solchen Systemen wird beispielsweise oft durch die Entwicklung der Gesamt-Energie oder -Entropie bestimmt. Allgemeine Entropie-Verfahren sind auch in der mathematischen Theorie von Evolutionsgleichungen erfolgreich. Darüber hinaus führt die diskrete Erhaltung solcher Entropie-Strukturen üblicherweise zu robusten Algorithmen, verbesserten qualitativen Eigenschaften, einem korrekten asymptotischen Verhalten sowie reduzierten numerischen Fehlern. Wir werden strukturerhaltende numerische Verfahren hoher Ordnung für eine Vielzahl von Evolutionsgleichungen entwickeln und analysieren, unter anderem für kompressible Fluiddynamik, Hamiltonsche Systeme, nichtlineare Wellengleichungen sowie andere nichtlineare Gleichungen mit dispersiven und/oder dissipativen Termen höherer Ordnung. Der Fokus dieses Projektes liegt auf effizienten Zeitintegrationsverfahren, die eine korrekte Entwicklung eines Entropie-Funktionals sicherstellen. Darüber hinaus werden wir auch räumliche Semidiskretisierungen untersuchen und entwickeln. Insbesondere werden wir auf unsere kürzlich erschienen Arbeiten zu Relaxationsverfahren in der Zeit und partiellen Summationsoperatoren im Raum aufbauen, diese kombinieren und substantiell erweitern. Effiziente Implementierungen aller Verfahren in der modernen Programmiersprache Julia werden als Open-Source-Software veröffentlicht. Diese werden voraussichtlich zu signifikanten Steigerungen der Effizienz, Robustheit und Genauigkeit im Vergleich zu bisherigen Verfahren führen. Damit erlauben sie die Anwendung numerischer Verfahren auf Probleme in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, die vorher nicht zugänglich waren. Außerdem werden wir das Verständnis von strukturerhaltenden numerischen Verfahren vorantrieben, beispielsweise durch die Analyse des Fehlerwachstums.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Saudi-Arabien
• Kooperationspartner: Professor David Ketcheson