Fortschritte in der Regularisierungstheorie für inverse Probleme in Banachräumen

• Antragsteller: Professor Dr. Irwin Yousept
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 513566305

Ziel des Projekts ist die Erarbeitung und weiterführende Entwicklung der Regularisierungstheorie für inverse Probleme in Banachräumen mit Schwerpunkten auf (i) variationelle Quellbedingungen, (ii) Ordnungsoptimalität, (iii) hinreichende Bedingungen für optimale Konvergenzraten sowie (iv) umgekehrt formulierte Resultate (converse results). Diese vier Forschungsthemen gehören zu den zentralen Elementen bei der Untersuchung von linearen und nichtlineren Regularisierungsmethoden für schlecht gestellte inverse Probleme. Während bisherige Studien im Hilbertraumfall bereits einen hohen Entwicklungsstand erreicht haben, fehlen entsprechende Untersuchungen in Banachräumen noch weitgehend. Sie stellen aufgrund der Nichtverfügbarkeit eines Orthonormalsystems eine große Herausforderung dar, insbesondere für nicht Banach-Gitter-Fälle (non-Banach-lattice). Aufbauend auf den Konzepten der Unbedingtheit sowie der $R$- und $\gamma$-Beschränktheit zur essentiellen Erweiterung der Orthogonalität und Beschränktheit im Hilbertraumfall soll das Projekt neue Techniken sowie theoretische Grundlagen für (i)-(iv) in Banachräumen auf Basis einer verallgemeinerten Littlewood-Paley-Zerlegung entwickeln. Eine finale Zielstellung (v) umfasst die Anwendung der abstrakten Theorie auf das inverse Quellproblem von Maxwell-Variationsungleichungen im Banachraumfall zur Strom-Messung und -Detektion in hochtechnologischen Supraleitungskabeln.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Bernd Hofmann