Multiskalen Approximationsverfahren für beliebig verteilte, Skalar- und Mannigfaltigkeit-wertige Daten

• Antragsteller: Professor Dr. Holger Wendland
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 514588180

Die Approximation einer unbekannten Funktion aus diskreten Beobachtungen ist ein wesentliches Problem der Angewandten Mathematik mit Anwendungen in vielen Wissenschaftsbereichen. Oft liegt die Information als eine große Anzahl von Datenwerten an beliebig verteilten Datenstellen vor. Die Daten können z. B. gemessene Werte einer physikalischen Größe darstellen oder aus der numerischen Simulation eines physikalisch-technischen oder auch biologischen Prozesses stammen. Die Entwicklung immer besserer datenerhebender Geräte, wie z. B. im Bereich der medizinischen Bildverarbeitung, hat zu einem erhöhten Bedarf an besseren Datenverarbeitungstechniken geführt. Daher werden klassische, lineare Modelle immer häufiger durch nichtlineare, flexiblere Modelle ersetzt. Ein solches Modell, das in den letzten Jahren an Popularität gewonnen hat, benutzt Mannigfaltigkeit-wertige Funktionen. Aber auch die Approximation Skalar-wertiger Daten stellt nach wie vor eine große Herausforderung dar. In diesem Projekt soll ein neues numerisches Verfahren entwickelt und mathematisch analysiert werden, um sowohl Skalar- als auch Mannigfaltigkeit-wertige Funktionen zu approximieren. Das Verfahren soll insbesondere zur Approximation bei sehr großen Datenmengen geeignet sein und neben der reinen Rekonstruktion auch bei Datenverarbeitungsprozessen wie Denoising, Detection, Kompression und Superresolution einsetzbar sein. Das zu entwickelnde Approximationsverfahren wird auf Quasi-Interpolationsprozessen, radialen und positiv definiten Kernen und Multiskalentechniken beruhen. Das Hauptziel ist dabei ein einfach umzusetzendes und dennoch hoch effizientes Verfahren für skalar- und mannigfaltigkeitswertige Daten. Wir werden dieses Ziel in drei Schritten verfolgen. Im ersten Schritt werden wir die Kombination von Quasi-Interpolation und Multiskalen-Techniken für skalarwertige Funktionen betrachten. Hier sollen Bedingungen an die verwendeten Kerne entwickelt werden, um Konvergenz zu erzwingen bzw. um das Konvergenzverhalten zu verbessern. Im zweiten Schritt sollen diese Ergebnisse auf die Approximation von Mannigfaltigkeit-wertigen Funktionen übertragen werden. Die Adaption auf mannigfaltigkeitswertige Daten wird dabei auf intrinsischen Mittelungsprozessen beruhen. Insbesondere müssen hier neue Techniken definiert, ihre Eigenschaften untersucht und theoretische Konvergenzaussagen in Analogie zu den Aussagen im Skalar-wertigen Fall hergeleitet werden. Im letzten Schritt, wird die Anwendbarkeit der entwickelten Methoden auf echte, real-world Datensätze untersucht. Die vorgeschlagenen Methoden haben das Potential, Grundlage für zukünftige Techniken zur Bearbeitung massiver Datensätze zu werden. Dieses Projekt zielt darauf, einen mathematischen Rahmen für aufwendige und schwierige Approximationsprobleme, wie sie in vielen Anwendungen auftreten, bereitzustellen. Die grundlegende, mathematische Ausrichtung des Antrags macht die neuen Methoden zugänglich für andere Wissenschaftsbereiche.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Israel
• ausländischer Mitantragsteller: Dr. Nir Sharon