Sequentielle lineare ganzzahlige Programmierung für gemischtganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme

• Antragsteller: Professor Dr. Paul Manns
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 515118017

Gemischtganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme sind ein mächtiges mathematisches Modellierungswerkzeug für naturwissenschaftliche und technische Fragestellungen mit vielseitigen Anwendungen von Materialentwurf über Versuchsplanung bis zur Steuerung von Versorgungsnetzwerken. Die hohe Ausdrucksmächtigkeit der Problemklasse steht aktuell einem Mangel an skalierbaren Lösungsalgorithmen, die für vielfältige Probleminstanzen einsetzbar sind, gegnüber.Das Hauptziel des Antrags ist die Analyse und Weiterentwicklung einer neuen algorithmischen Methodik, die verschiedenen Ideen aus der angewandten Mathematik, insbesondere der optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen, der nichtlinearen und diskreten Optimierung sowie der mathematischen Bildverarbeitung aufgreift und diese miteinander verbindet.Im Zentrum steht eine Regularisierung der gemischtganzzahligen Optimalsteuerungsprobleme mit Hilfe der Totalvariationsseminorm, wodurch die Optimierungsprobleme den Methoden der nichtlinearen Optimierung, insbesondere sogenannten Vertrauensbereichverfahren, prinzipiell zugänglich werden. Entsprechend soll neben der Existenz von optimalen Lösungen und der Herleitung von Optimalitätsbedingungen auch die Konvergenz eines Vertrauensbereichverfahrens zur Lösung der regularisierten Probleme im Funktionenraum gezeigt werden. Für den Algorithmus soll dann eine diskretisierte Version entworfen werden, in der zwei Diskretisierungsgitter für die Steuerungsfunktion und die duale Formulierung der Totalvariationsseminorm miteinander gekoppelt werden. Auf Basis dieser Diskretisierung soll für die entstehenden Subprobleme als auch das gesamte Verfahren eine numerische Analysis durchgeführt werden. Die entstehenden diskretisierten Subprobleme sind kombinatorische Optimierungsprobleme und sollen mit Methoden der kombinatorischen Optimierung behandelt werden.Dieses Vorgehen soll sowohl die algorithmisch addressierbare Problemklasse erweitern als auch eine rigorose Analysis dieser Optimalsteuerungsprobleme und des vorgeschlagenen Algorithmus leisten. Für alle Schritte des Algorithmus soll die vorgeschlagene numerische Analysis eine Approximationsgüte liefern. Zusammen mit kombinatorischen Algorithmen zur Lösung der diskretisierten Subprobleme erhält man einen vollständig implementierbaren Algorithmus, dessen Approximationsfehler man mit Hilfe der Diskretisierungsgitter kontrollieren kann.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen