Schließlich positive Operatorhalbgruppen und ihre Anwendung auf Evolutionsgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Jochen Glueck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 515394002

Die zeitliche Entwicklung vieler dynamischer Systeme hat eine Eigenschaft, die als "Positivität" oder "Positivitätserhaltung" bezeichnet wird und die folgendermaßen zu verstehen ist: Falls der Startwert des Systems (welcher beispielsweise ein Vektor mit endlich vielen Komponenten oder eine Funktion auf einer geeigneten Menge sein kann) in jeder Komponente beziehungsweise an jeder Stelle nicht-negativ ist, dann gilt selbiges auch für die Trajektorie des Systems für jeden nachfolgenden Zeitpunkt. Diese Eigenschaft tritt natürlicherweise in vielen physikalischen, chemischen oder probabilistischen Modellen auf (da beispielsweise Masseverteilungen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen inhärent nicht-negativ sind). Falls ein solches dynamisches System zudem linear und autonom ist, lässt es sich aus mathematischer Sicht durch eine sogenannte "positive Operatorhalbgruppe" beschreiben. Stand heute ist eine tiefgründige Theorie solcher positiven Halbgruppen verfügbar. Erst deutlich später wurde das kompliziertere Phänomen der "schließlichen Positivität" bei einigen partiellen Differentialgleichungen beobachtet. Dieses Phänomen bedeutet, dass die Trajektorie des Systems für nicht-negative Startwerte zunächst das Vorzeichen wechseln kann, für große Zeiten dann aber wieder nicht-negativ wird und bleibt. Nach früheren Arbeiten in endlicher Dimension wurde eine allgemeine unendlich-dimensionale Theorie schließlicher Positivität 2016 in zwei Artikeln begründet und daraufhin von verschiedenen Autorinnen und Autoren weiterentwickelt und angewendet. Daher ist mittlerweile eine große Bandbreite von Differentialgleichungen mit schließlich positiven Lösungen bekannt. Zum jetzigen Zeitpunkt ist die Theorie jedoch bei Weitem nicht vollständig. Zahlreiche Fragen - von denen einige für den Fall positiver Halbgruppen schon vor langer Zeit beantwortet wurden - sind weiterhin offen, und für viele konkrete partielle Differentialgleichungen lässt sich mit den bisher vorhandenen Ergebnissen noch nicht feststellen, ob ihre Lösungen schließlich positiv sind. Dieses Projekt hat die Entwicklung neuer Methoden zum Ziel um schließliche Positivität auf theoretischer Ebene besser zu verstehen und in weiteren konkreten Differentialgleichungen identifizieren zu können. Wir werden Werkzeuge aus verschiedenen Teilgebieten der Funktionalanalysis, insbesondere stark stetige Operatorhalbgruppen und Banachverbände, verwenden um neue Charakterisierungen und neue hinreichende Bedingungen für schließliche Positivität zu beweisen, und wir werden diese Ergebnisse auf zahlreiche Differentialgleichungen anwenden um zu untersuchen ob deren Lösungen schließlich positiv sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen