Homologische Algebra der Supersymmetrie: Lokalität, Unitarität, Dualität

• Antragsteller: Dr. Simone Noja, Ph.D.; Dr. Ingmar Saberi; Professor Dr. Johannes Walcher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 517493862

Die Supersymmetrie ist eine treibende Kraft hinter vielen Verbindungen, die sich in den letzten paar Jahrzehnten zwischen Quantentheorie und reiner Mathematik entwickeln haben. Supersymmetrische Theorien können dazu dienen, eine Reihe von physikalischen und mathematischen Eigenschaften von Quantenfeldtheorien in einer kontrollierten Umgebung zu beleuchten, in der exakte Lösungen zugänglich sind. Gleichzeitig kodiert der lösbare "BPS" Sektor von supersymmetrischen Feld- und Stringtheorien mathematische Daten spezieller geometrischer Strukturen und deren häufig unerwartete "Dualitäts-"Beziehungen. Auf den ersten Blick sind die für supersymmetrische Feldtheorien benötigten Werkzeuge einfache Verallgemeinerungen derer für die Beschreibung gewöhnlicher physikalischer Systeme benutzten. Insbesondere kann die Supersymmetrie selbst entweder in einer Lagrangeschen Formulierung verstanden werden, die die Feldlokalität betont, oder von einer Hamiltonschen Perspektive aus, in der die Unitarität von Teilchendarstellungen das Organisationsprinzip ist. Bemerkenswerte Beziehungen zu anderen mathematischen Gebieten entstehen jedoch, weil dies nicht die ganze Wahrheit ist. Eine genauere Untersuchung offenbart viele Eigenmerkmale supersymmetrischer Theorien, die abstraktere und ausgereiftere mathematische Methoden nötig machen. Umgekehrt stellt eine Einschränkung auf die "Vorhersagen" physikalischer Dualitäten keine zufriedenstellende mathematische Erklärung ihres mikroskopischen Ursprungs dar. Ein typisches Beispiel ist die mathematische Interpretation der holographischen Dualität, deren Anfänge sich aus einem besseren Verständnis der holomorphen Twists von Supergravitation herauskristallisieren; konkrete physikalische Anwendungen dieser Methoden sind bisher grösstenteils unerforscht. Wir haben jüngst zur Entwicklung mächtiger Werkzeuge aus der homologischen Algebra zur Konstruktion und Untersuchung supersymmetrischer Multiplets vom Lagrangeschen Standpunkt aus beigetragen. Diese Werkzeuge abstrahieren und verallgemeinern den als "pure spinor" bekannten Formalismus. Gleichzeitig hat es bemerkenswerten Fortschritt in der unitären Darstellungstheorie von super Lie-Algebren und super Lie-Gruppen gegeben, mit markanten Ergebnissen zu superkonformen Algebren, die in der Feldtheorie von zentraler Wichtigkeit sind. Dieses Projekt zielt auf die Entwicklung und Verbindung dieser beiden Forschungsstränge im Hinblick auf Anwendungen, insbesondere zur getwisteten Holographie. Wir erwarten, dass die Ergebnisse eine breitere Perspektive auf supersymmetrische Feldtheorie befördern und neue Anwendungen von Supersymmetrie in der Mathematik einleiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen