Homologische Algebra der Supersymmetrie: Lokalisierung, Unitarisierung, Dualisierung

• Antragsteller: Dr. Ondrej Hulik, Ph.D.; Professor Dr. Johannes Walcher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 517493862

In der Teilchenphysik bezeichnet der Begriff „Supersymmetrie“ die Idee, dass die Eigenschaften und das Verhalten der Grundbausteine der Materie (Fermionen wie das Elektron) möglicherweise nicht unabhängig sind von denen der fundamentalen Kraftträger (Bosonen wie das Photon oder das Graviton), sondern vielmehr auf eine Weise miteinander verknüpft sein könnten, die der Beziehung zwischen Kopf und Zahl einer Münze ähnelt. Auch wenn dieses Konzept sich noch nicht physikalisch manifestiert hat, hat die Supersymmetrie tiefgreifende und unauslöschliche Spuren in der Mathematik hinterlassen. Die bekanntesten Beispiele – etwa die Mirror Symmetrie, die Donaldson-Witten- oder die Kapustin-Witten-Theorie – beruhen auf bestimmten Vereinfachungen solcher Theorien, die als „topologische Twists“ bekannt sind. Diese Abarten hängen mit einer besonderen algebraischen Struktur der Supersymmetrie zusammen, die eng mit dem berühmten Paulischen Ausschliessungsprinzip verwandt ist, dem zufolge zwei identische Fermionen niemals denselben Zustand einnehmen können. Topologische Feldtheorien entfalten ihre volle Stärke insbesondere in Kombination mit einer zweiten Eigenschaft supersymmetrischer Feldtheorien, der sogenannten „Dualität“. Sie besagt, dass falls die getwistete Theorie noch nicht einfach genug ist, sie in eine a priori völlig verschiedene Beschreibung überführt werden kann, in der sie exakt lösbar ist. Im Laufe der Jahre wurden viele Vorhersagen, die mittels Twist und Dualität aus supersymmetrischen Feldtheorien gewonnen wurden, mit erstaunlicher mathematischer Präzision bestätigt. Was bislang jedoch schmerzlich fehlt, ist eine Übertragung der physikalischen Intuition, ein strukturelles Verständnis des Twist-Verfahrens sowie eine mikroskopische Herleitung der Dualitäten. Diese Lücke zu überbrücken ist das übergeordnete Ziel dieses Projekts, das seit 2023 von der DFG gefördert wird und sich nun in seiner zweiten Phase befindet. Im Mittelpunkt stand zunächst die Beziehung zwischen dem sogenannten pure-spinor Superfeldformalismus und der unitären Darstellungstheorie von Lie-Superalgebren sowie die Weiterentwicklung des Formalismus im Hinblick auf Anwendungen in gekrümmter Raumzeit. Zu den Ergebnissen zählen eine bemerkenswerte Umstrukturierung der Darstellungstheorie, die Entdeckung eines neuen wall-crossing Phänomens sowie eine äusserst fruchtbare Verschmelzung der neuen homologischen Methoden mit der klassischen Supergeometrie. Diese Ansätze sollen nun im Hinblick auf eine systematische Unitarisierung des pure-spinor Formalismus, die Einbeziehung von Wechselwirkungen (einschliesslich dynamischer Supergravitation) und die Untersuchung weiterer Konsequenzen der neu entdeckten Strukturen weiterentwickelt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen