Gewichteter Halbgruppen-Zugang für Fokker-Planck-Kolmogorov-Gleichungen

• Antragsteller: Dr. Marco Rehmeier
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2023 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 517982119

In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit nichtlinearen parabolischen Fokker-Planck-Kolmogorov-Gleichungen (FPKG), welche Differentialgleichungen für Maße sind. Solche Gleichungen treten in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen auf, etwa in der statistischen Mechanik, in Populationsausbreitungsmodellen und Mean Field-Spielen. Hier werden FPKG sowohl zur Modellierung der Dynamik von Teilchen-Verteilungen als auch zur Dynamik von Wahrscheinlichkeitsdichten genutzt. Der generische Typ einer FPKG setzt die zeitliche Ableitung einer Kurve von Maßen (für gewöhnlich im schwachen Sinne verstanden) in Beziehung zu einer gerichteten Bewegung (Drift) plus einer "zufälligen" ungerichteten Bewegung (Diffusion). Im nichtlinearen Fall hängen diese Bewegungen nicht nur von Zeit und Ort ab, sondern auch von der Lösung selbst, was die Konstruktion von Lösungen erschwert. Die mathematische Bedeutung solcher Gleichungen ergibt sich auch aus dem engen Zusammenhang zur stochastischen Analysis: Lösungen einer FPKG sind äquivalent zu Lösungen einer assoziierten stochastischen Differentialgleichung, welche die Dynamik eines Teilchens, das gerichteten und zufälligen Kräften unterliegt, modelliert. Daher ist die Konstruktion von Lösungen für FPKG eine wichtige Aufgabe. Ein Ziel dieses Projekts ist es, eine bestimmte Klasse von FPKG mit singulären und unbeschränkten Drift- und Diffusionskoeffizienten zu lösen. In diesem Fall sind die FPKG Gleichungen für Funktionen und beinhalten viele wichtige partielle Differentialgleichungen, etwa aus der Physik, der Biologie und der Geologie. In letzter Zeit wurde der sogenannte Halbgruppen-Zugang erfolgreich genutzt, um Lösungen für gewisse FPKG zu konstruieren. Die Beweise funktionieren jedoch ausschließlich für beschränkte Drift-Koeffizienten. Der Plan ist es, diesen Zugang so weiterzuentwickeln, dass er auch auf Gleichungen mit unbeschränktem Drift anwendbar ist. Während der klassische Zugang Lösungen in einem Raum integrierbarer Funktionen bzgl. des Lebesgue-Maßes konstruiert, wird ein solch erweiterter Zugang auf gewichteten Funktionenräumen basieren. Wir beabsichtigen, diese Methode auch für Gleichungen auf unendlich-dimensionalen Räumen zu entwickeln. Des Weiteren werden wir uns mit sogenannten regularisierenden Effekten beschäftigen, die besagen, dass Lösungen beschränkt sind, selbst wenn ihr Anfangswert ein höchst singuläres Maß ist. Ein zweites Ziel ist es, diese Ergebnisse auf die zugehörigen stochastischen Gleichungen zu übertragen. Insbesondere sollte dies im unendlich-dimensionalen Fall zu neuen Existenzresultaten für eine Klasse von stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDG) führen. Für unendlich-dimensionale Räume ist der Zusammenhang zwischen FPKG und SPDG deutlich weniger gut verstanden als im endlich-dimensionalen Fall. Durch unser Projekt wollen wir auch in diesem Bereich an der Schnittstelle zwischen partiellen Differentialgleichungen und stochastischer Analysis Fortschritte erzielen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Italien
• Gastgeber: Professor Dr. Franco Flandoli