Die Calabi-Invariante, das mittlere Wirkungsspektrum Hamiltonscher Abbildungen und ihre Realisierung als glatte Reeb-Flüsse.

• Antragsteller: Abror Pirnapasov
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 518128580

Seit der Arbeit von Hofer-Zehnder und Schwarz ist bekannt, dass das Wirkungsspektrum Hamiltonscher Diffeomorphismen auf geschlossenen symplektisch asphärischen Mannigfaltigkeiten eine kompakte und nirgends dichte Teilmenge der reellen Linie ist. Es stellt sich heraus, dass das mittlere Wirkungsspektrum, das eine größere Menge als das Wirkungsspektrum ist, wie von Hutchings gezeigt, interessante Beziehungen zur Calabi-Invariante für flächenerhaltende Abbildungen hat. Über die topologischen Eigenschaften des mittleren Wirkungsspektrums ist jedoch nicht viel bekannt. Unser erstes Ziel in dieser Richtung ist es daher, topologische Eigenschaften des mittleren Wirkungsspektrums zu untersuchen und seine Beziehung zu den Calabi-Invarianten für Hamiltonsche Abbildungen einer Fläche mit Rand aufzuzeigen. Als Werkzeug verwenden wir die Floer-Homologie und Eigenschaften der spektralen Invarianten der periodischen Floer-Homologie (PFH). Außerdem möchten wir die Calabi-Invariante verwenden, um die Perfektion der Symplektomorphismengruppe der zweidimensionalen Standardebene zu überprüfen. Weiterhin wollen wir Bedingungen finden, unter denen flächenerhaltende Abbildungen einer Fläche mit Rand als glatter Reeb-Fluss auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ohne Rand realisiert werden können, d. h. die Konstruktion eines Reeb-Flusses auf einer kompakten Mannigfaltigkeit, die eine globale Schnittfläche zulässt, sodass die erste Abbildung mit der gegebenen Abbildung übereinstimmt. Nach den Ergebnissen von Colin, Honda und Laudenbach gilt, wenn eine Abbildung eine erste Rückkehr Karte für eine globale Oberfläche eines Abschnitts eines Reeb-Flusses ist, dann ist der Fluss der Karte gleich Null. Dieses Ergebnis impliziert, dass eine der notwendigen Bedingungen für flächenerhaltende Abbildungen für die Realisierung eines glatten Reeb-Flusses ein verschwindender Fluss ist. Unser Ziel ist es, notwendige und hinreichende Bedingungen zu untersuchen, um flächenerhaltende Abbildungen als glatten Reeb-Fluss zu realisieren. Wir möchten einen Bernoulli-Reeb-Fluss auf jeder geschlossenen Kontakt-3-Mannigfaltigkeit konstruieren, indem wir Bernoulli-Diffeomorphismen mit verschwindendem Fluss auf kompakten Flächen mit Rand konstruieren und realisieren. Wir wollen untersuchen, welche flächenerhaltenden Pseudorotationen (flächenerhaltende Abbildungen mit nur einer periodischen Umlaufbahn) der Scheibe als glatte Reeb-Flüsse der standard 3-Sphäre realisiert werden können. Neuere Ergebnisse zur Reeb-Dynamik zeigen, dass generische glatte Reeb-Flüsse globale Schnittflächen zulassen. Es gibt jedoch keine expliziten Reeb-Flüsse auf einer geschlossenen Kontaktmannigfaltigkeit, die keine globale Schnittfläche besitzt. Unser Plan ist es, mit Hilfe der Anosov-Katok-Konjugationsmethode ein Gegenbeispiel in der Dimension fünf zu konstruieren.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Daniel Cristofaro-Gardiner