Geodätische Kurven und Invarianten Riemannscher Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Maximilian Stegemeyer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 518920559

Das Ziel des Projektes ist es die Zusammenhänge zwischen dem globalen Verhalten von geodätischen Kurven und Invarianten Riemannscher Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Insbesondere sollen Probleme in den Bereichen String-Topologie und geodätische Komplexität bearbeitet werden. Die String-Topologie untersucht algebraische Strukturen in der Homologie und Kohomologie des freien Schleifenraums einer kompakten orientierbaren Mannigfaltigkeit. Die Theorie von Morse stellt einen engen Zusammenhang zwischen den geschlossenen Geodätischen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und der Homologie des freien Schleifenraums dieser Mannigfaltigkeit her. Eine der zentralen Ideen des Projekts ist es also, einerseits die geometrischen Eigenschaften von Geodätischen zu nutzen um Ergebnisse über Operationen der String-Topologie zu erhalten und andererseits Rückschlüsse von bestimmten string-topologischen Eigenschaften auf das Verhalten der Geodätischen zu ziehen. Insbesondere soll das String-Topologie-Koprodukt untersucht werden. Die geodätische Komplexität ist eine geometrische Variante von Michael Farbers topologischer Komplexität. Die topologische Komplexität eines wegzusammenhängenden topologischen Raumes ist eine numerische Homotopie-Invariante und kann als Abstraktion des Problems der robotischen Bewegungsplanung aufgefasst werden. In Anwesenheit einer Metrik kann man nun fordern, dass die Bewegungsplanung nur optimale, also kürzeste, Wege nutzt. Dies führt zur Definition der geodätischen Komplexität einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Die geodätische Komplexität wird ganz wesentlich durch das globale Verhalten der Geodätischen bestimmt. Im beschriebenen Projekt soll insbesondere die Abhängigkeit der geodätischen Komplexität von der Metrik und das genaue Verhältnis von geodätischer und topologischer Komplexität untersucht werden.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Dänemark
• Gastgeberin: Professorin Nathalie Wahl, Ph.D.