Kohomologische Methoden in der Integralgeometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Bernig
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 520350299

Das Lefschetz-Paket ist eine Reihe von Behauptungen, die in ganz verschiedenen mathematischen Zusammenhängen wie Polytoptheorie, Kombinatorik und algebraischer Geometrie auftauchen. Der Ursprung liegt in der Kohomologietheorie von kompakten Kählermannigfaltigkeiten. Das Lefschetz-Paket hat zahlreiche Anwendungen wie beispielsweise der Beweis der g-Vermutung von McMullen, die Erdös-Moser und Dowling-Wilson Vermutungen in der Kombinatorik und die Alexandrov-Fenchel Ungleichung in konvexer Geometrie. Eine neue Entwicklung ist ein (hauptsächlich vermutetes) Lefschetz-Paket in der Theorie der stetigen, translationsinvarianten Bewertungen auf konvexen Körpern. Eine Bewertung ist ein endlich-additives Maß auf dem Raum der kompakten konvexen Körper in einem endlichdimensionalen Vektorraum oder allgemeiner auf einer geeigneten Klasse von regulären Teilmengen einer glatten Mannigfaltigkeit. Das Lefschetz-Paket für Bewertungen beinhaltet eine Version des gemischten schweren Lefschetztheorems sowie gemischte Hodge-Riemann Relationen. Ein vollständiger Beweis würde weitreichende Konsequenzen in der Integralgeometrie und für Ungleichungen vom Alexandrov-Fenchel Typ haben. Im ersten Teil des Projektes sollen wichtige Spezialfälle der Vermutungen bewiesen sowie Anwendungen auf geometrische Ungleichungen angegeben werden. Im zweiten Teil sollen Bewertungen auf Riemannschen und Kählermannigfaltigkeiten, insbesondere auf reellen und komplexen Grassmannmannigfaltigkeiten, und ihre Bezüge zu Kohomologie, probabilistischem Schubertkalkül und Integralgeometrie untersucht werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen