Der antikanonische Komplex - ein kombinatorisches Werkzeug für Fano-Varietäten

• Antragstellerin: Dr. Milena Wrobel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 520425292

Fano-Varietäten sind projektive Varietäten mit ampler antikanonischer Klasse, die in vielen Bereichen der algebraischen Geometrie, wie zum Beispiel dem minimalen Modell Programm oder der Mirror Symmetrie, eine wichtige Rolle spielen. Im torischen Fall gibt es eine 1-zu-1-Korrespondenz zwischen Fano-Varietäten und den sogenannten Fano-Polytopen, die es ermöglicht, algebraisch-geometrische Eigenschaften der Varietäten rein kombinatorisch zu beschreiben. Der antikanonische Komplex ist ein polyedrischer Komplex, der eingeführt wurde, um diese Korrespondenz auf größere Klassen von Varietäten zu erweitern. So wurde er bereits erfolgreich eingesetzt, um Varietäten auf die Singularitäten-Typen zu untersuchen, wie sie etwa im Rahmen des minimalen Modell-Programmes auftauchen. Das Ziel dieses Projektes ist es, aufbauend auf dem antikanonischen Komplex, weitere kombinatorische Methoden für Fano-Varietäten zu entwickeln, wobei wir uns am torischen Fano-Polytop orientieren. Um dieses Ziel zu erreichen, wollen wir unter anderem eine intrinsische, konvex-geometrische Beschreibung von antikanonischen Komplexen entwickeln, um so die Struktur dieser Klasse von polyedrischen Komplexen besser zu verstehen. Aufbauend darauf, wollen wir die konvex-geometrischen Eigenschaften von antikanonischen Komplexen herausarbeiten, die zu geometrischen Eigenschaften der betrachteten Fano-Varietäten korrespondieren. Als konkrete Anwendung sollen Klassifikationsergebnisse für Fano-Varietäten mit festgelegten geometrischen Eigenschaften, wie etwa dem Gorenstein-Index, durch die Klassifikation von polyedrischen Komplexen gewonnen werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen