Skalenanalyse und asymptotisch reduzierte Modelle für die Atmosphäre

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Rupert Klein
• Fachliche Zuordnung: Physik und Chemie der Atmosphäre ; Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 500072446

FOR 5528 soll die mathematische Lösungstheorie für Atmospären-Ozean-Seeeis-Modelle vorantreiben. Dieses Teilprojekt betrachtet die in der geophysikalischen Strömungsmechanik etablierte Hierarchie von skalenabhängigen Modellen, die laut I. Held (Bull. Amer. Meteorol. Soc., 86, (2005)) von herausragender Bedeutung für das Verständnis des Erdsystems ist. Ein Ausgangspunkt des Projekts ist die von E. Titi, M. Hieber et al. etablierte Lösungstheorie der hydrostatisch primitiven Gleichungen (HPGn), welche Strömungen auf horizontalen bzw. Zeitskalen jenseits ca. 20km/60min beschreiben. Die Existenz starker und schwacher, lokal und global in der Zeit gültiger Lösungen wurde, inkl. anzunehmender Voraussetzungen, geklärt. Die HPGn bilden heute die Basis für globale Wettervorhersage- und Klimamodelle. Bei der mathematischen Analyse von Strömungsmodellen für Skalen oberhalb 20km/60min dienen die HPGn daher hier als Referenz und im Arbeitspaket (AP) 1a sollen die quasi-geostrophischen (QG) und planetar-geostrophischen (PG) Modelle als asymptotische Grenzdynamiken der HPGn mathematisch rigoros gerechtfertigt werden. Im AP 1b soll die für AP 1a anvisierte analytische Strategie auf die HPGn selbst, jedoch unter Berücksichtigung stochastischer Störungen, angewendet werden. Dies ist von Interesse, weil die stochastische Modellierung in Wettervorhersage und Klimamodellierung zunehmend an Bedeutung gewinnt und weil stochastisches Rauschen eine Regularisierung der Gleichungen jenseits von Annahmen zu Viskositäten u.ä. ermöglicht. AP 1c entwickelt Mehrskalenmodelle für den gesamten Skalenbereich von 20km/60min bis zu planetaren Skalen auf formalem Niveau. Im Fokus steht zunächst das semi-geostrophische Modell (SG), dessen Einbettung in die Systematik der Modellhierarchie (R. Klein, Ann. Rev. Fluid Mech., 42 (2010)) bisher nur in Spezialfällen geklärt ist. Ziel ist es dann, das Wechselspiel von QG-, SG- und PG-Prozessen in einem asymptotischen Mehrskalenmodell zu erfassen. AP 2 und AP 3 widmen sich Skalen vergleichbar oder kleiner als 20km/60min. Angesichts der von L. Székelyhidi und Kolleg*innen mit Hilfe konvexer Integration (CI) gezeigten Existenz mehrdeutiger, sog. "wilder", schwacher Lösungen der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen kann für diesen Skalenbereich nicht mehr mit einer klassischen Lösungstheorie gerechnet werden. Daher widmet sich AP 2 der Frage, ob bzw. unter welchen Bedingungungen der CI-Zugang auch für die HPGn zur Mehrdeutigkeit von schwachen Lösungen führt. AP 3 konzentriert sich auf Skalen unterhalb 20km/60min und hinterfragt, ob und ggf. ab welchen Skalen sich die Einflüsse von Gravitation und Erdrotation auf die Existenz "wilder" schwacher Lösungen auswirken. Im Hinblick auf physikalisch motivierte kleinskalige Schließungsmodelle wird untersucht, ob die recht künstlichen "Mikado flow"-Mikrostrukturen der bisherigen CI-Konstruktion durch realistischere, in Simulationen oder Messungen beobachtbare Feinstrukturen ersetzbar sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 5528: Mathematische Untersuchungen von geophysikalischen Fluid-Modellen: Analysis und Numerik
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Matthias Hieber; Professor Dr. László Székelyhidi