Spezielle Fasern von Modulräumen von Shtukas

• Antragsteller: Patrick Bieker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 520675682

Die Untersuchung der Geometrie von Shimuravarietäten and Stellen schlechter Reduktion ist essentiell für das Langlandsprogramm. Zum Beispiel nutzen Harris-Taylor und Scholze die Kohomologie dieser Räume im Beweis der lokalen Langlandskorrespondenz für GL(n). Das hier vorgestellte Projekt beschäftigt sich mit der Geometrie von Modulräumen von Shtukas, dem Analogon von Shimuravarietäten über Funktionenkörpern, an Stellen schlechter Reduktion. Modulräume von Shtukas wurden zuerst von Drinfeld für GL(n) eingeführt und später von Varshavsky, bzw. Arasteh Rad und Hartl, für allgemeine reduktive Gruppen, bzw. für glatte affine Gruppenschemata, verallgemeinert. Das Ziel des Projekts ist das Studium des Schnittverhaltens der irreduziblen Komponenten in der speziellen Faser an Stellen mit Bruhat-Tits Levelstrukturen. Für parahorisches Level ist die Schnittkombinatorik im Wesentlichen durch die Kottwitz-Rapoport Stratifizierung (kurz: KR Stratifizierung) gegeben und es gibt (partielle) Resultate über Eigenschaften der Kottwitz-Rapoport Stratifizierung. So sind z.B. die KR Strata glatt und die Abschlussrelationen der Strata sind bekannt. Die Neuheit des Projekts besteht darin, auch Fälle von tieferem Bruhat-Tits Level zu betrachten. Grundlage hierfür ist die Konstruktion ganzzahliger Modelle von Modulräumen von Shtukas durch den Antragsteller in diesem Fall. In einem ersten Schritt des Projekts wird die spezielle Faser von Modulräumen von Shtukas im parahorischen Fall genauer untersucht. Zum Beispiel soll die Nicht-Leerheit der KR- (und Newton-) Strata in diesem Fall gezeigt werden. Außerdem soll eine Ekedahl-Kottwitz-Oort-Rapoport Stratifizierung (eine Verfeinerung der Kottwitz-Rapoport Stratifizierung) für Modulräume von Shtukas definiert und untersucht werden. In einem zweiten Schritt wird eine KR Stratifizierung auch für tiefere Bruhat-Tits-Levelstrukturen definiert. Das Ziel ist die natürliche Indexmenge der KR Stratifizierung durch die Kombinatorik im Bruhat-Tits-Gebäude zu charakterisieren und die Abschlussrelationen der Strata in diesem Fall zu bestimmen. Dies baut zum einen auf dem Studium des parahorischen Falls im ersten Schritt auf. Zum anderen soll die Kombinatorik in Beispielen (insbesondere im Falle von Drinfeld Shtukas) explizit bestimmt werden. Hierfür werden die vom Antragsteller eingeführten Drinfeld-Levelstrukturen für Shtukas benutzt. In zukünftiger Arbeit sollen diese Resultate dann auch auf die Geometrie von Shimuravarietäten übertragen werden. Diese Resultate sollen in zukunftigen Projekten dann zur Berechnung der Funktion der halbeinfachen Spur des Frobenius auf benachbarten Zykeln benutzt werden. Diese Funktion ist für die Bestimmung der lokalen Faktoren der L-Funktion des Modulraums von Shtukas (bzw. der Shimuravarietät) in der Langlands-Kottwitz Methode relevant. Das Ziel ist es, diese Funktion explizit zu machen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Zhiwei Yun