Dissipative schwache Lösungen für nicht viskose Ein- und Mehrkomponenten-/Phasenströmungen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Philipp Öffner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 520756621

Die Eulergleichungen der Gasdynamik werden für viele natur- und ingenieurwissenschaftliche Probleme genutzt – u.a. zur Beschreibung von Luftströmungen – und beinhalten den Erhalt der Masse, des Impulses und der totalen Energie. Mathematisch war lange unklar, ob mehrdimensionale Eulergleichungen wohlgestellt in der Klasse von schwachen Entropielösungen sind, d.h. ob eindeutige und stetig von den Anfangsdaten abhängige Lösungen existieren. Da dies mittlerweile in mehreren Forschungsarbeiten widerlegt werden konnte, wurden dissipative schwache (DW) Lösungen als Verallgemeinerung des klassischen Lösungsbegriffs eingeführt und haben sich durch mehrere Forschungsarbeiten hierzu als Lösungskonzept etabliert. Einige numerische Verfahren wurden bereits bezüglich ihrer Konvergenzeigenschaften für DW Lösungen untersucht. Hierbei war es wichtig, dass die numerischen Methoden die strukturellen Eigenschaften der Eulergleichungen erhalten, bspw. Positivität der Dichte und des Druckes. Hier setzt das Projekt an. Zunächst wird eine vereinheitliche Konvergenzanalyse vorgenommen. Hierbei werden speziell strukturerhaltende Verfahren untersucht und Konvergenzeigenschaften bezüglich DW Lösungen gezeigt. Für verschiedene Finite Elemente Methoden ist die Konvergenz bis heute nur im semidiskreten Fall bewiesen, d.h. die Zeit ist als kontinuierliche Größe gegeben. Das Projekt soll die Konvergenz im volldiskreten Fall beweisen und eine einheitliche Konvergenztheorie für die Eulergleichungen bereitstellen. Nicht viskose Mehrkomponenten/-phasenströmungen zur Beschreibung komplexer Modelle setzen sich aus Kombinationen der Eulergleichungen und zusätzlichen Kopplungstermen zusammen. Bereits für die Euler-Konvergenzuntersuchung waren die strukturerhaltenden Eigenschaften der numerischen Verfahren essenziell. Im zweiten Projektabschnitt werden neuartige strukturerhaltende Verfahren für nicht viskose Mehrkomponenten/-phasenströmungen entwickelt, welche im Anschluss genauer analysiert werden. Im letzten Teil des Projektes wird das Konzept der DW Lösungen der Eulergleichungen auf Mehrkomponenten/-phasenmodelle erweitert, theoretisch untersucht und eine konsistente Lösungstheorie bereitgestellt. Anschließend werden die Konvergenzeigenschaften der (neuartigen) strukturerhaltenden Verfahren bezüglich DW Lösungen analysiert. Ziel des Projektes ist es eine einheitliche Konvergenzanalyse bezüglich DW Lösungen für die Eulergleichungen zu liefern, neuartige strukturerhaltende Methoden zu konstruieren und das Konzept der DW auf allgemeinere Modelle zu erweitern und zu etablieren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen