Die Allen-Cahn-Gleichung und Minimalflächen

• Antragsteller: Matteo Rizzi, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 521052394

Die Hauptziele des Projekts bestehen darin, neue Lösungen für einige semilineare elliptische PDEs zu konstruieren, mit besonderem Interesse an der Allen-Cahn-Gleichung, und die qualitativen Eigenschaften einer gegebenen Lösung zu untersuchen. Unsere Analyse stützt sich häufig auf die Theorie der minimalen (Hyper-)Flächen, die für das Verständnis des Verhaltens der Nullniveau-Lösungsmenge der Allen-Cahn-Gleichung von entscheidender Bedeutung sind. Ein Teil unseres Projekts wird der gebrochenen Allen-Cahn-Gleichung gewidmet sein. Uns interessieren insbesondere k-Endlösungen, also ganze Lösungen im euklidischen Raum, deren Nullniveau außerhalb einer hinreichend großen Kugel durch die disjunkte Vereinigung endlich vieler Zusammenhangskomponenten gegeben ist. Wir haben bereits Beispiele für solche Lösungen in der Dimension N ≥ 8 konstruiert, denen einige Symmetrieeigenschaften zugeschrieben werden, nämlich dass sie O(m)×O(n)-invariant, m+n=N, mit unendlichem Morseindex sind und ihre Energie auf der Kugel hat polynomielles Wachstum bezüglich des Radius. Unsere zukünftigen Ziele sind: -Untersuchung der qualitativen Eigenschaften von O(m)×O(n)-invarianten Lösungen der Allen-Cahn-Gleichung, mit besonderem Interesse an ihrem Morseindex und an ihrer Nullniveaumenge. Ihre Energie am Ball wird eine wichtige Rolle spielen. - Konstruktion neuer O(m)×O(n)-invarianter ganzer Lösungen der Allen-Cahn-Gleichung in der Dimension 4 ≤ N ≤ 7 und neuer nicht O(m)×O(n)-invarianter k-endiger Lösungen in der Dimension N ≥ 8 (symmetriebrechende Lösungen). Ihre Nullniveaumenge wird nahe einer geeigneten minimalen Hyperfläche oder der Vereinigung von k ≥ 2 Graphen über einer solchen Hyperfläche vorgeschrieben. -Um ein abstraktes Ergebnis zu beweisen, das eine allgemeine Strategie zum Konstruieren von Lösungen für semilineare PDEs liefern könnte, die mit nichtvariationalen Methoden wie der Lyapunov-Schmidt-Reduktion verwandt sind. - Konstruieren von Lösungen mit k-Ende für die gebrochene Allen-Cahn-Gleichung in Dimension 3, deren Nullniveaumenge eine Vereinigung normaler Graphen über einer geeigneten minimalen Hyperfläche ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Tschechische Republik
• Kooperationspartner: Dr. Oscar Ivan Agudelo Rico