Entropische Transferoperatoren zur datengetriebenen Analyse von dynamischen Systemen

• Antragsteller: Professor Dr. Bernhard Schmitzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 521064440

Die Analyse von komplexen dynamischen Systemen spielt eine zentrale Rolle in vielen wissenschaftlichen Gebieten, z.B. atmosphärische Strömungen in der Meteorologie, turbulente Flüsse in den Ingenieurwissenschaften und große Moleküle in der Biochemie. Oft sind solche Systeme chaotisch, stochastisch und hochdimensional, jedoch existiert manchmal eine näherungsweise, niedrigdimensionale Beschreibung, z.B. durch metastabile Konformationen und deren Übergangsraten. Daher sind Methoden zur systematischen Identifizierung solcher Näherungen hochrelevant. Mathematisch können dynamische Systeme durch ihren Transfer- und Koopmanoperator beschrieben werden. Diese enthalten Informationen über verschiedene Zeitskalen, metastabile Zustände und zur Dimensionsreduktion. In der Praxis müssen die Operatoren numerisch genähert und aus Daten geschätzt werden. Dafür wurde ein breites Spektrum von Methoden entwickelt, welches mit großem Erfolg in den Naturwissenschaften angewendet wird. Doch die Diskretisierung und Wahl der Basisfunktionen sind nach wie vor eine große Herausforderung, insbesondere in hohen Dimensionen. Vor Kurzem haben wir das Konzept von entropischen Transferoperatoren eingeführt, welche eine neue Methode zur Schätzung einer expliziten Markovmatrix aus Lagrangeschen Daten darstellen. Probleme mit Diskretisierungsartefakten und der Endlichkeit der verfügbaren Daten werden durch Anwenden von Unschärfe durch entropischen Optimal Transport kompensiert. Letzteres ist ein zunehmend populäres und numerisch ausgereiftes Werkzeug zur mathematischen Datenanalyse. Wir haben gezeigt, dass dieser diskrete, geglättete Operator, im Grenzfall beliebig vieler verfügbarer Daten, gegen eine geglättete Version des echten Operators konvergiert. Dies erlaubt es, Strukturen des dynamischen Systems oberhalb der Glättungsskala zu extrahieren. Die Methode ist gitterunabhängig und besitzt nur einen einzigen Parameter, die Glättungsskala, welche eine Balance zwischen der Menge der verfügbaren Daten und der Auflösung der Analyse ermöglicht. Wir sind daher überzeugt, dass die Methode eine echte Bereicherung für die datengetriebene Analyse dynamischer Systeme darstellt und planen, die Methode zu verallgemeinern, Konvergenzraten herzuleiten und die Kombination mit anderen neuen Methoden aus dem Gebiet zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen