Topologische Dynamiken auf Mustern aus Resonatoren mit einem Fokus auf Gruppensymmetrien

• Antragsteller: Dr. Tom Stoiber
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Theoretische Physik der kondensierten Materie
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 521291358

Ein wichtiger Teil der mathematischen Festkörperphysik in den letzten Jahren ist die Klassifizierung und Rumpf-Rand-Korrespondenz von topologischen Isolatoren mittels K-Theorie und operator-algebraischen Methoden. Während dieser Ansatz der quantenmechanischen Beschreibung elektronischer Materie entspringt, versteht man inzwischen, dass man damit ebenso topologische Metamaterialien klassifizieren kann, die die Ausbreitung von klassischen mechanischen, elektromagnetischen oder akustischen Wellen beeinflussen. Dabei treten an die Stelle von Atomen größere Bausteine, die man mathematisch als Resonatoren unter dem Einfluss linearer Dynamik modellieren kann. Ist diese Dynamik bestimmt durch Galilei-invariante physikalische Gesetze, so haben die zugrundeliegenden Muster, in denen die Resonatoren angeordnet werden, einen starken Einfluss auf die möglichen Typen von topologischen Isolatoren, z.B. führen quasi-periodische Muster zu sogenannten Phason-Freiheitsgraden wodurch man effektiv höherdimensionale Systeme simulieren kann. In diesem Projekt sollen mathematische Aspekte um die Konstruktion, Klassifizierung und Stabilität solcher topologischen Metamateriale untersucht werden. Der erste ist, dass im Gegensatz zu den ursprünglichen quantenmechanischen Modellen die Resonatoren oft asymmetrisch sind und man sie relativ zueinander beliebig rotieren kann. Dies hat einen entscheidenden Einfluss auf die möglichen Galilei-invarianten Dynamiken und erfordert die Untersuchung neuer Gruppoid-C*-Algebren, die diese Eigenschaften in die operator-algebraische Modellierung einbeziehen. Der zweite Aspekt des Projekts zielt auf die genauere Untersuchung eines Spezialfalles des ersten: ein Konstruktionsprinzip neuer krystalliner topologischer Isolatoren mit gegebener Gruppensymmetrie, bei dem man an sich asymmetrische Resonatoren auf den Orbits diskreter Untergruppen der euklidischen Gruppe platziert. Solche Isolatoren lassen sich dann modellieren durch Elemente von Gruppen-C*-Algebren was die Anwendung mächtiger mathematischer Methoden rund um die Baum-Connes-Vermutung ermöglicht. Diese sollen verwendet werden um konkrete Probleme zur topologischen Klassifikation, zur numerischen Berechnung von topologischen Invarianten und zur Rumpf-Rand-Korrespondenz zu lösen. Der dritte zu untersuchende Aspekt ist die Stabilität von krystallinen topologischen Isolatoren unter zufälliger Unordnung. Heuristische Argumente lassen vermuten, dass deren topologische Klassifikation zumindest unter schwacher Unordnung stabil ist, allerdings ist es schwierig dafür ein mathematisches Argument formulieren, da Symmetrie-verletzende Unordnung nur schwer in Einklang zu bringen ist mit der gebräuchlichen Klassifikation durch equivariante K-Theorie.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeber: Professor Dr. Emil Prodan