Randregularität und Eindeutigkeit von Minimalflächen

• Antragstellerin: Dr. Simone Steinbrüchel, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 522292454

Im ersten Teil des Projektes untersuchen wir Minimalflächen an ihrem Rand. Das Interesse an Minimalflächen entstammt ursprünglich folgender Beobachtung: Hält man einen Draht in Seifenlauge, spannt sich ein Seifenfilm, dessen Flächeninhalt so klein wie möglich ist, und der gleichzeitig den ganzen Draht berühren muss. Dazu gibt es verschiedene mathematische Modelle. Wir möchten ein mengentheoretisches Modell untersuchen, welches als erstes von Reifenberg und Taylor vorgeschlagen und untersucht wurde. Sie haben die Fläche in ihrem Inneren beschrieben, wobei unser Projekt sich auf die Randpunkte fokussiert. Es gibt Beispiele von singulären Randpunkten, z.B. solche, an denen sich die Minimalfläche in drei Flächen aufteilt. Wir wollen untersuchen, welche Arten von Gabelungen auftreten können und wie oft das passiert. Dazu analysieren wir zuerst eine Approximation der Fläche, welche aus Kegeln besteht. Wir werden alle möglichen Kegel auflisten und daraus folgern, welche Form die ursprüngliche Minimalfläche hat. Der zweite Teil dieses Projektes beschäftigt sich mit der Eindeutigkeit dieses Minimierungsproblems, was der Frage entspricht, ob immer der gleiche Seifenfilm entsteht, wenn man den gleichen Draht mehrmals in Seifenlauge hält. Im Allgemeinen ist bekannt, dass das nicht stimmt: Es gibt Beispiele von Rändern, die verschiedene Minimalflächen haben. Jedoch haben solche Ränder sehr viel Symmetrie. Dies lässt uns vermuten, dass wenige solche Ränder existieren. Genauer wollen wir beweisen, dass die Menge der Ränder mit mehreren Minimalflächen so klein ist, dass sie in der Mengenlehre als mager kategorisiert wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen