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Projekt
Konvexe Integration: Hin zu einem mathematischen Verständnis von Turbulenz, Onsager'sche Vermutungen und Zulässigkeitsbedingungen
Antragsteller
Professor Dr. Simon Markfelder
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525935467
In den vergangenen Jahren haben Resultate, die auf der Technik der konvexen Integration basieren, großes Interesse im Bereich der mathematischen Fluidmechanik auf sich gezogen. Während der Ursprung der konvexen Integration in der Differentialgeometrie liegt, wurde sie im Gebiet der mathematischen Strömungsmechanik zum ersten Mal vor ca. 15 Jahren verwendet, und zwar um Lösungen der inkompressiblen Euler Gleichungen zu konstruieren. Später wurde konvexe Integration auch auf andere Strömungsmodelle angewandt, insbesondere auf das kompressible Euler System. Dieses ist eines der wichtigsten Beispiele hyperbolischer Erhaltungsgleichungen. Zum einen hat man durch konvexe Integration erkannt, dass es für inkompressible Fluide einen Mechanismus gibt, der schwachen Lösungen erlaubt Energie zu dissipieren. Dieser Mechanismus steht im Zusammenhang mit turbulentem Verhalten der Lösung. Vor Kurzem wurde gezeigt, dass ein ähnlicher Mechanismus auch im kompressiblen Fall auftreten kann. Ferner konnte man mit Hilfe von konvexer Integration die Vermutung von Onsager vollständig beweisen, die aufzeigt unter welcher Regularität Energiedissipation möglich ist. Zum anderen führt konvexe Integration zu unendlich vielen Lösungen, insbesondere für die mehrdimensionalen kompressiblen Euler Gleichungen, selbst wenn Zulässigkeitskriterien wie die Entropieungleichung auferlegt werden. Letztere wird in der Literatur üblicherweise verwendet um physikalisch relevante Lösungen zu identifizieren. Jedoch scheinen zumindest manche der unendlich vielen Lösungen unphysikalisch. Dies deutet darauf hin, dass schwache Entropielösungen in diesem Zusammenhang nicht das richtige Lösungskonzept sind. Angesichts dieser Erkenntnisse beabsichtigen wir die folgenden beiden Themen zu bearbeiten. Erstens planen wir Aussagen ähnlich zur Onsager'schen Vermutung zu studieren um das mathematische Verständnis von Turbulenz zu erweitern. Neben der Betrachtung der hydrostatischen Euler Gleichungen werden wir an einer stärkeren Version der Onsager'schen Vermutung für die inkompressiblen Euler Gleichungen arbeiten, bei der anstelle der Gesamtenergie (wie in der originalen Onsager'schen Vermutung) die lokale Energie(un)gleichung betrachtet wird. Eine solche Version der Onsager'schen Vermutung soll auch für das kompressible Euler System studiert werden. Zweitens beabsichtigen wir die Suche nach einem guten Lösungskonzept für die kompressiblen Euler Gleichungen in mehreren Raumdimensionen voranzutreiben. Hierzu werden wir zunächst untersuchen für welche Anfangsdaten die Entropieungleichung nicht in der Lage ist eine eindeutige Lösung auszuwählen. Ferner wollen wir verstehen warum die Entropieungleichung in 1D Eindeutigkeit liefert, während sie dies im mehrdimensionalen Fall nicht tut (siehe oben). Schließlich planen wir weitere Zulässigkeitskriterien zu studieren und zu prüfen ob diese in der Lage sind vermutlich unphysikalische Lösungen auszuschließen.
DFG-Verfahren
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