Eine strukturerhaltende kompakte numerische Methode hoher Ordnung für mehrdimensionale hyperbolische Erhaltungssätze

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Klingenberg, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525941602

Mehrdimensionale Erhaltungssätze weisen viel mehr Phänomene auf als ihre eindimensionalen Gegenstücke, zum Beispiel turbulente Strömungen mit Wirbeln und nichttrivialen stationären Zuständen. Gleichzeitig sind die Rechenressourcen begrenzt, und die Verfeinerung ist bei mehrdimensionalen Simulationen besonders kostspielig. Derzeit verfügbare numerische Methoden können mehrdimensionale Phänomene nur bei übermäßiger Gitterverfeinerung erfassen. Das liegt daran, dass sie eine numerische Diffusion hinzufügen, die auf eindimensionalem Denken beruht, und auch daran, dass die Flüsse mit Riemannschen Problemen berechnet werden. Letztere verfälschen die Lösung für die subsonische Strömung. Wir schlagen eine neue hybride Finite-Elemente-Finite-Volumen-Methode vor, bei der das upwinding durch lokale Entwicklung kontinuierlicher Daten erreicht wird, anstatt ein Riemann-Problem zu lösen. Die Freiheitsgrade sind Zellmittelwerte/Momente und Punktwerte an den Zellschnittstellen, wobei der letztere zwischen benachbarten Zellen geteilt wird. Die Entwicklung der Mittelwerte ist konservativ, was bedeutet, dass die Methode in der Lage ist, zur schwachen Lösung zu konvergieren. Diese Methode in seiner niedrigsten (3.) Ordnung ist in der Literatur unter dem Namen Active Flux zu finden und erzielt nachweislich bessere Ergebnisse auf groben Gittern, da sie strukturerhaltend ist. In unserer neuen Methode macht die Entwicklung höherer Momente die Genauigkeit beliebig hoch. Derzeit sind Active-Flux-Methoden für lineare oder eindimensionale Probleme verfügbar. Dieses Projekt zielt darauf ab, unsere neue Methode für mehrdimensionale Systeme von Erhaltungsgesetzen zu entwickeln, insbesondere für die vollständigen mehrdimensionalen Euler-Gleichungen, und ihre strukturerhaltenden Eigenschaften zu analysieren. Dieses Projekt wird in enger Zusammenarbeit mit Wasilij Barsukow / Universität Bordeaux, Frankreich, durchgeführt.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2410: Hyperbolische Erhaltungssätze in der Fluidmechanik: Komplexität, Skalen, Rauschen (CoScaRa)
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Kooperationspartner: Dr. Wasilij Barsukow