Pfadintegrale von (planarer) Brownscher Bewegung und verwandten Prozessen

• Antragsteller: Professor Dr. Leif Döring
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 526069380

Pfadintegrale von stochastischen Prozessen sind seit Jahrzehnten ein zentraler Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie, da sie bei der Untersuchung von stochastischen Differentialgleichungen und Verzweigungsprozessen von großer Bedeutung sind und vor allem das Pfadverhalten von stochastischen Prozessen durch ihre Aufenthaltszeiten besser verstehen lassen. Das vorgeschlagene Projekt befasst sich mit mehreren Fragen: Berechnung der Momente und Identifizierung der exakten Verteilungen der Aufenthaltszeiten in Orthanten und Kegeln der d-dimensionalen Brownschen Bewegung und verwandter Prozesse sowie der positiv verbrachten Zeit von eindimensionalen Gauß-Prozessen und austauschbaren Prozessen. Darüber hinaus werden wir die Endlichkeit von Pfadintegralen für bestimmte Eckfälle wie den Cauchy-Prozess charakterisieren, eine Frage, die eine verbleibende offene Frage von SDEs mit Sprüngen klären wird. Um diese Ziele zu erreichen, werden wir einen neuen, einfachen, aber potenziell effektiven Ansatz mit minimalen Annahmen über den zugrunde liegenden Prozess verfolgen. Unsere Methode nutzt eine überraschende (einfache) Verbindung zwischen Aufenthaltszeiten und Persistenzwahrscheinlichkeiten von Summen von Zufallsvariablen, Winkeln von Zufallskegeln in der stochastischen Geometrie und Orthantenwahrscheinlichkeiten von mehrdimensionalen Gaußschen Zufallsvariablen. Auf diese Weise können wir Eigenschaften von Aufenthaltszeiten untersuchen, die bisher unerreichbar waren.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen