Asymptotikerhaltende verallgemeinerte upwind SBP-Verfahren hoher Ordnung mit IMEX Zeitintegration zur Anwendung auf kinetische Transportmodelle

• Antragstellerin: Dr. Sigrun Ortleb
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 526073189

Kinetische Modelle beschreiben physikalische Prozesse in Natur- und Ingenieurwissenschaften auf der Ebene hyperbolischer Bilanzgleichungen mit hoher Dimensionalität, die Kollisionsoperatoren zur Modellierung der Interaktion zwischen einzelnen Partikeln beinhalten. Im Vergleich zu makroskopischen Fluidmodellen basierend auf der Beschreibung räumlich und zeitlich veränderlicher Dichten mittels partieller Differentialgleichungen, liegen kinetische Modelle dichter an der Partikelbeschreibung und erlauben so beispielsweise das Verständnis des Verhaltens verdünnter Gase. Zudem treten sie in der Turbulenzmodellierung auf, deren direkte numerische Simulation häufig aktuelle Rechenkapazitäten übersteigt. Kinetische Modelle besitzen ein Mehrskalenverhalten abhängig vom Quotienten aus der mittleren freien Weglänge und der charakteristischen Länge. In der Grenzbetrachtung konvergiert ein sinnvolles kinetisches Modell gegen ein makroskopisches Modell, beispielsweise die kompressiblen Euler-Gleichungen. Allerdings erlaubt das räumlich sowie zeitlich variierende Mehrskalenverhalten in vielen Fällen keine globale Nutzung des makroskopischen Modells, so dass das vollständige kinetische Modell simuliert wird. Numerische Verfahren für kinetische Modelle haben sich den Herausforderungen der hohen Dimensionalität, der Nichtlinearität von physikalisch interessanten Kollisionsoperatoren, der erforderlichen Erhaltung des korrekten asymptotischen Verhaltens auf der diskreten Ebene sowie der inhärenten Steifheit zu stellen. Effiziente grundsätzliche Herangehensweisen zur Bewältigung derartiger Herausforderungen sind bisher nicht hinreichend erforscht. Dieses Vorhaben beabsichtigt die Konstruktion und Analyse neuartiger numerischer Verfahren für kinetische Modelle auf Basis einer detaillierten mathematischen Analyse bezogen auf Stabilität, Genauigkeit und dem asymptotischen Verhalten mit dem Ziel eines besseren Verständnisses von Mehrskalenverhalten und Turbulenz. Zu diesem Zweck wird der erprobte Rahmen Asymptotik-erhaltender Verfahren genutzt, der den Übergang vom kinetischen zum makroskopischen Modell auf diskreter Ebene abbilden kann. Erstmals werden hierzu numerische Verfahren für kinetische Modelle auf Basis räumlicher strukturerhaltender, diskretisierungsunabhängiger summation-by-parts(SBP) Verfahren mit beweisbaren Genauigkeits- und Stabilitätseigenschaften sowie implizit-expliziter(IMEX) Zeitintegration konstruiert, einschließlich neuer Wege bezogen auf IMEX-Ansätze und Partitionierung der raumdiskretisierten Gleichungen. Diese neuartigen Asymptotik-erhaltenden IMEX-upwindSBP Verfahren hoher Ordnung für kinetische Modelle mit Anwendung in den Bereichen Neutronentransport, Strömungsverhalten verdünnter Gase und Turbulenzmodellierung werden analysiert bezogen auf Genauigkeit, ihr lineares und nichtlineares Stabilitätsverhalten sowie Erhaltung der Asymptotik, mit besonderem Augenmerk auf dem Zusammenspiel zwischen Asymptotik und Entropiestabilität im nichtlinearen Fall.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2410: Hyperbolische Erhaltungssätze in der Fluidmechanik: Komplexität, Skalen, Rauschen (CoScaRa)
• Internationaler Bezug: Kanada
• Kooperationspartner: Professor David Del Rey Fernandez, Ph.D.