Tautologische Systeme und Quanten-Differentialgleichungen für homogene Räume

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Sevenheck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 527733662

In dem diesem Fortsetzungsantrag zugrunde liegenden Projekt sollen Differentialgleichungssysteme, die durch Gruppenwirkungen auf algebraischen Varietäten definiert sind, studiert werden. Genauer sollen die sogenannten tautologischen Systeme weiter untersucht werden – sowohl im Allgemeinen als auch im Hinblick auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie, der Singularitätentheorie und der Spiegelsymmetrie. Letztere bezieht sich im vorliegenden Kontext auf die Identifikation von Quanten-D-Moduln für homogene Räume mit bestimmten (Fourier-Laplace-Transformationen von) Gauss-Manin-Systemen von Landau-Ginzburg-Modellen. Diese sollen als Dimensionsreduktionen geeigneter tautologischer Systeme auftreten. Eines der Teilprojekte beschäftigt sich damit, diese Quanten-D-Moduln innerhalb tautologischen Systeme zu identifizieren. In Bezug auf Anwendungen in der algebraischen Geometrie sollen die Beziehung zwischen tautologischen Systemen von Kegeln projektiver G-Varietäten und der lokalen Kohomologie dieser Kegel untersucht werden. Diese Identifikation wird verwendet, um die lokale kohomologische Dimension singulärer G-Varietäten zu untersuchen und andererseits die Bott-Verschwindungseigenschaft für bestimmte homogene Räume zu analysieren. Als vorbereitenden Schritt, der auch unabhängig davon von Interesse ist, werden wir die Hodge-Filtration auf dem tautologischen System bestimmen. Dies wird es ermöglichen, die Spiegelsymmetrie als Äquivalenz nicht-kommutativer Hodge-Strukturen auszudrücken, wodurch eine ebenso befriedigende Formulierung von hodgetheoretischer Spiegelsymmetrie wie im torischen Fall erreichen werden würde. Ein weiteres wichtiges Thema ist die (Fortsetzung der) Untersuchung der irregulären Hodge-Theorie für D-Moduln, die in der Spiegelsymmetrie homogener Räume eine Rolle spielen. Dabei geht es hauptsächlich um die sogenannten Frenkel-Gross-Zusammenhänge und allgemeiner um rigide D-Moduln in beliebigen Dimensionen. Für diese beabsichtigen wir, neuere Ergebnisse zu reskalierbaren Twistor-D-Moduln zu nutzen, um derartige rigide Moduln über die Fourier-Laplace-Transformation mit der klassischen Hodge-Theorie zu verknüpfen. Ein wesentlicher Teil des Projekts soll der Untersuchung von torischen Degenerationen tautologischer Systeme gewidmet sein. Dies umfasst die Berechnung der Gewichtsfiltration auf dem ursprünglichen tautologischen System und deren Verwendung (zusammen mit der relativen Gewichtsfiltration der Degeneration), um eine funktorielle Beschreibung des Limes-Hodge-Moduls zu erhalten. Es wird vermutet, dass dieser selbst ein tautologisches System für die Automorphismengruppe der zentralen Faser der Degeneration ist, insbesondere also Quotient eines GKZ-Systems. Klassische Berechnungen mit Quanten-Differentialgleichungen bestimmter Flaggenvarietäten sollen unter diesem allgemeineren Gesichtspunkte unter Zuhilfenahme tautologischer Systeme neu interpretiert werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen