Konstruktion und Analyse eigenschaftserhaltender, konvergenter sowie effizienter Finite-Elemente basierter Diskretisierungen der Navier-Stokes-Planck-Poisson Gleichungen in der Elektrohydrodynamik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Das beschreibende Modell koppelt die klassischen Halbleitergleichungen (Nernst-Planck- Poisson-Gleichungen) für positive und negative Ladungen mit den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für das Geschwindigkeitsfeld. Das Ziel des Projekts ist die Konstruktion strukturerhaltender Finite-Elemente-basierter Raumzeit-Diskretisierungen, so dass berechnete Ladungen nicht-negativ und beschränkt sind, sowie Energie- und Entropieprinzipien vererbt werden. Im Rahmen dieses Projekts konnten vorgegebene Zielsetzungen erreicht und zusätzliche Resultate hergeleitet werden, die kurz vorgestellt werden sollen: (i) Schwache Lösungen der Navier-Stokes-Nernst-Planck-Poisson (NSNPP)-Gleichungen konnten mithilfe eines allgemeinen Galerkinverfahrens konstruiert werden. Die hierbei verwendeten analytischen Hilfsmittel sind nichtkonstruktiv, um konvergente numerische Verfahren zu konstruieren. (ii) Schwache Lösungen des Teilsystems: Nernst-Planck-Poisson (NPP)-Gleichungen konnten auf zwei Weisen mithilfe von Finite-Elemente-Diskretisierungen konstruiert werden: mithilfe einer Diskretisierung, die das Energieprinzip erbt, oder einer solchen, die das Entropieprinzip erbt. Während die ,energieprinzip-treue' Diskretisierung nichtnegative, beschränkte Ladungen berechnet aber das Entropieprinzip nur approximativ erfüllt, verliert die ,entropieprinzip-treue' Diskretisierung die Nichtnegativität und Beschränktheitseigenschaft der Ladungen. Beide Verfahren konvergieren gegen schwache Lösungen von (NPP). (iii) Basierend auf den in (ii) erzielten Resultaten wurde eine ,energieprinzip-treue' Diskretisierung für das Gesamtsystem (NSNPP) verwendet. Notwendig für die Analyse ist eine neue Kompatibilitätsbedingung für erlaubte Finite-Elemente-Räume, um die Diskretisierung von ,Strömungsanteil' und ,(NSP-)Anteil' auszubalancieren. Nichtnegativität und Beschränktheit von Ladungs-Iterierten, sowie das Energieprinzip werden auf diese Weise auf die Raumzeitdiskretisierung übertragen. Das (praktikable) Verfahren konstruiert schwache Lösungen für verschwindende Diskretisierungsparameter. (iv) Für praktische Simulationen interessant sind Splitting-Verfahren, die ,Strömungsanteil' und ,(NSP-)Anteil' des Problems entkoppeln. Derartige Ideen geben strukturerhaltende Diskretisierungen auf, so dass auch eine derartige Konstruierbarkeit schwacher Lösungen fraglich ist. Ist allerdings die zu approximierende Lösung existent und stark - was für kleine Zeiten gesichert werden kann - konvergieren derartige effiziente Verfahren mit optimaler Konvergenzordnung. Numerische Studien ergänzen die analytischen Argumente.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Analysis of the Navier-Stokes-Nemst-Planck-Poisson system. Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 19, pp 993-1015 (2009)
M. Schmuck
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Convergent discretizations for the Nemst-Planck-Poisson-System. Numer. Math. 111, pp. 591-630 (2009)
A. Prohl, M. Schmuck
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Convergent finite element discretizations for the Navier-Stokes-Nemst-Planck-Poisson system. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 44, pp. 531-571 (2010)
A. Prohl, M. Schmuck
