Niedrigrangapproximation der Lösung von kinetischen Zwei-Teilchen-Gleichungen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Katharina Kormann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 530709913

Kinetische Gleichungen werden oft als das umfassendste Modell zur Beschreibung von Plasmen, Gasen und Flüssigkeiten angesehen, das sich computergestützt lösen lässt. Dennoch werden die kinetischen Gleichungen unter bestimmten Annahmen aus der Vielteilchenverteilungsfunktion abgeleitet. Für die meisten Phänomene sind diese Annahmen zulässig, aber insbesondere auf kurzen Zeitskalen und für kleine mittlere freie Weglängen, wo die Annahme des molekularen Chaos versagt, stoßen sie an ihre Grenzen. Das bekannteste Beispiel für einen solchen Zustand sind dichte Gase. Eine umfassendere Beschreibung kinetischer Prozesse stellt das Zwei-Teilchen-Modell dar, das Zwei-Teilchen-Wechselwirkungen im Detail beinhaltet. Die numerische Lösung dieses Modells ist wegen der hohen Dimensionalität des 12-dimensionalen Phasenraumes unseres Wissens nach noch nicht behandelt worden. Andererseits haben Näherungen basierend auf Niedrigrangtensoren in den letzten Jahren eine rasante Entwicklung erfahren und konnten den Fluch der Dimensionalität unter bestimmten Annahmen erfolgreich abschwächen. Insbesondere hat eine Reihe von Arbeiten gezeigt, dass die Niedrigranglösung der Vlasov- und der Boltzmann-Gleichung eine gute Kompression und genaue Ergebnisse lieferen kann. Ziel dieses Projekts ist es, ein erstes numerisches Simulationswerkzeug für die kinetische Zwei-Teilchen-Gleichung zu entwickeln, zu implementieren und zu analysieren, das auf der Niedrigrangkompression basiert. Wir werden eine Darstellung betrachten, die eine kinetische Beschreibung der Ein-Teilchen-Verteilungsfunktion mit einer Zwei-Teilchen-Korrekturfunktion und einer Feldgleichung koppelt, die das von den Teilchen induzierte (elektrische) Feld beschreibt. Die numerische Lösungsstrategie konzentriert sich auf ein effizientes Splitting der dynamischen Niedrigranggleichungen und eine strukturerhaltende räumliche Diskretisierung. Wir werden daher eine adaptive dynamische Niedrigrangapproximation herleiten, die auf einer strukturerhaltenden Rundung, einer Momentenkorrektur durch Kopplung an die makroskopische Fluidgleichungen sowie einer sorgfältig angepassten Active-Flux-Diskretisierung der projizierten Subsysteme der dynamischen Niedrigrangapproximation beruht. Wir planen, die Ergebnisse unseres neuen Lösers mit der Lösung der Boltzmann-Gleichung zu vergleichen und charakteristische Eigenschaften wie die Relaxationszeit für verschiedene Anfangsverteilungen, insbesondere fern vom Maxwellschen Gleichgewicht, zu vergleichen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen