Variationelle Gradientenflüsse auf Wahrscheinlichkeitsräumen und Generative Modelle für Bayessche Inverse Probleme in der Bildverarbeitung

• Antragsteller: Dr. Johannes Hertrich
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 530824055

Wasserstein-Gradientenflüsse finden seit vielen Jahren sowohl aus theoretischer als auch aus anwendungstechnischer Sicht große Beachtung und sind in jüngster Zeit bei Deep-Learning-Ansätzen verwendet worden. Insbesondere wurden neben der Kullback-Leibler-Divergenz die Maximum-Mean-Diskrepanz als Funktional verwendet und andere Geometrien als die der Wasserstein-Räume ausgenutzt, wie zum Beispiel die Stein-Metrik. In diesem Projekt interessieren wir uns für neuronale Gradientenflüsse für bayessche inverse Probleme. Wir beabsichtigen, geeignete Funktionale auf dem Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße zu modellieren und zu analysieren, deren Minimierer die Posterior-Verteilungen für gegebene bayessche inverse Probleme sind. Anschließend werden wir auf neuronalen Netzen basierende Modelle zur Erzeugung dieser Posterior-Verteilungen auf der Grundlage von Wasserstein-Gradientenflüssen herleiten. Wir interessieren uns besonders für den Funktionale basierend auf der Maximum-Mean-Diskrepanz mit nicht-glatten Riesz-Kernen. Hier weisen Wasserstein-Gradientenflüsse eine reiche Struktur auf, da die intrinsische Dimension des Supports der Maße innerhalb des Flusses variieren kann. Außerdem beabsichtigen wir, invertierbare Residuenflüsse mit Hilfe von Wasserstein steepest descent flows zu trainieren. In diesem Zusammenhang wollen wir die Reversibilität von ODEs in Wasserstein-Räumen analysieren. Aus algorithmischer Sicht wollen wir proximale Splitting-Algorithmen für Minimierungsprobleme auf Wassersteinräumen unter Verwendung von Vorwärts- und Rückwärtsschemata herleiten. Als Spezialfall beinhaltet dies die Konvergenzanalyse für ein Euler-Vorwärtsschema von Gradientenflüssen, die ein Ausgangspunkt für den Nachweis der Existenz von Wasserstein steepest descent flows für bestimmte Funktionale sein kann. Was die Anwendungen betrifft, so konzentrieren wir uns zunächst auf Probleme in der Bildverarbeitung. Für bestimmte Anwendungen, wie z. B. in den Materialwissenschaften, stehen nur kleine Datensätze zur Verfügung. Deshalb werden wir neue Variationsmodelle vorschlagen, bei denen der Regularisierungsterm nur Patch- oder allgemeinere Feature-basierte Informationen verwendet. Schließlich beabsichtigen wir, unsere Betrachtungen zum Lernen von Karten für Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Diskrepanzflüssen fortzusetzen. Dies wird uns eine explizite Parametrisierung der gelernten Karten ermöglichen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeberinnen / Gastgeber: Professor Antonin Chambolle, Ph.D.; Julie Delon