Modulo‐Radon‐Transformation‐basierte Tomographie (ModTomo)

• Antragsteller: Dr. Matthias Beckmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 530863002

Der Begriff Tomographie beschreibt die Bildgebung von zu untersuchenden Objekten anhand indirekter Messungen. Ein bekanntes Beispiel ist Computertomographie, bei der Röntgenstrahlung genutzt wird, um mehrere projektive Aufnahmen aus verschiedenen Richtungen zu erhalten. Das mathematische Herzstück der tomographischen Modelle bildet die Radon-Transformation, die eine Funktion auf ihre Linienintegrale abbildet, oder eine Variation dieser. Die innere Struktur des vermessenen Objektes wird dann durch die Anwendung ausgefeilter Inversionsmethoden algorithmisch rekonstruiert, die auf den konkreten Messprozess der spezifischen Anwendung zugeschnitten sind. Alle Rekonstruktionsansätze hängen entscheidend von der Qualität der Hardware-Daten ab, da jeglicher Informationsverlust in der Hardware-Pipeline unweigerlich zu einer Verringerung der Rekonstruktionsqualität führt. Eine fundamentale Limitierung besteht darin, dass physikalische Sensoren stets über einen fixen Wertebereich verfügen. Überschreitet das zu messende Signal den Dynamikumfang des Sensors, kommt es zu einer Saturation der Messwerte und somit zu einem permanenten Informationsverlust. Die Behandlung dieses Problems im Kontext tomographischer Messungen führt zum aktuellen Forschungsfeld der High Dynamic Range (HDR) Tomographie. Während konventionelle HDR-Tomographie-Ansätze auf die Fusion mehrerer Messungen mit reduziertem Dynamikumfang beruhen, behandeln unsere aktuellen Arbeiten einen grundverschiedenen Ansatz basierend auf der sogenannten Modulo-Radon-Transformation (MRT), einer neuen nichtlinearen Verallgemeinerung der Radon-Transformation. Wie bei der konventionellen Radon-Transformation werden Linienintegrale einer Funktion berechnet. Der unkonventionelle Aspekt ist, dass die MRT nicht diese punktweisen Radon-Projektionen kodiert, die potentiell saturieren, sondern zusätzlich eine Modulo-Operation integriert, die einen Reset durchführt bevor das Saturationslevel erreicht ist. Dieser neuartige Ansatz lässt sich mittels der kürzlich entwickelten Modulo-Analog-zu-Digital-Wandlern in Hardware umsetzen und führt auf ein nichtlineares inverses Problem, das neue Lösungsstrategien verlangt. Unsere Vorarbeiten konzentrieren sich auf eine End-zu-End-Entwicklung eines one-shot HDR-Tomographie-Ansatzes, der keine mehrfachen Messungen benötigt. Lediglich erste Schritte in Richtung einer soliden mathematischen Theorie wurden getätigt. Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung einer fundierten und tiefgründigen Theorie der Modulo-Radon-Transformation als mathematisches Modell für one-shot HDR-Tomographie sowie die Verifikation der theoretischen Fortschritte anhand von Simulationen und Hardware-Validierungen. Die Gesamtperspektive ist die Entwicklung eines mathematischen Frameworks, das die modellbasierte Rekonstruktion in HDR-Tomographie mit einem Messprotokoll ermöglicht, das für praktische Anwendungen beispielsweise in der zerstörungsfreien Testung oder medizinischen Bildgebung geeignet ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen