Grenzwertsätze für stabilisierende Funktionale

• Antragsteller: Professor Dr. Matthias Schulte
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 531541167

Viele zufällige geometrische Systeme werden mit Hilfe von zugrunde liegenden Punktprozessen konstruiert. Globale Größen von ihnen lassen sich häufig als Summen von Beiträgen einzelner Punkte, so genannter Scores, darstellen. Stabilisierung bedeutet, dass der Score eines Punktes nur von den anderen Punkten des Punktprozesses in einer zufälligen Umgebung abhängt. Derartige Summen von Scores werden als stabilisierende Funktionale bezeichnet und sind von großer Bedeutung in der stochastischen Geometrie. Sie kommen beispielsweise im Zusammenhang mit räumlichen Zufallsgraphen, zufälligen Mosaiken oder Zufallspolytopen vor. Gegenstand dieses Projektes sind stabilisierende Funktionale von zugrunde liegenden Poisson- oder Binomial-Punktprozessen und ihr asymptotisches Verhalten, wenn die Anzahl der Punkte gegen unendlich strebt. Hierbei können die Varianzen stabilisierender Funktionale von unterschiedlicher Ordnung sein, was bei ihrer Untersuchung zu berücksichtigen ist. Grenzwertsätze für stabilisierende Funktionale sind ein aktives Forschungsthema seit mehr als zwanzig Jahren und lassen sich auf viele unterschiedliche Probleme anwenden. Das Ziel dieses Projektes ist, die Theorie zu Grenzwertsätzen für stabilisierende Funktionale in verschiedene Richtungen erheblich zu erweitern und zu ergänzen: (i) multivariate quantitative zentrale Grenzwertsätze, (ii) Approximation durch die diskretisierte Normal-Verteilung, (iii) Normal-Approximation in der Totalvariationsmetrik und (iv) funktionale zentrale Grenzwertsätze. Hierfür sollen abstrakte Resultate gezeigt werden, die für große Klassen stabilisierender Funktionale und insbesondere für unterschiedliche Ordnungen der Varianz gültig sind. Diese Ergebnisse sollen auf viele wichtige Beispiele aus der stochastischen Geometrie angewandt werden wie Kantenlängen-Funktionale und Komponentenanzahlen von räumlichen Zufallsgraphen, Kantenlängen-Funktionale von Voronoi-Mosaiken, das Volumen der Voronoi-Approximation, Anzahlen an maximalen Punkten sowie innere Volumina und Anzahlen von k-Seiten von Zufallspolytopen. Die Beweise von mehreren der geplanten Resultate werden die Stein‘sche Methode oder ihre Kombination mit dem Malliavin-Kalkül verwenden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme