Gaußsche Fluktuationen in Modellen der statistischen Mechanik – Präzise Asymptotiken für die Magnetisierung

• Antragstellerinnen: Professorin Dr. Hanna Döring; Dr. Kristina Schubert
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 531542011

In unserem Projekt untersuchen wir Modelle aus der statistischen Mechanik, insbesondere das Curie-Weiss-Modell und Varianten wie beispielsweise zufällige Interaktionen. Von zentraler Bedeutung ist die schwache Konvergenz des durchschnittlichen Spins, der sogenannten Magnetisierung, sowie ihrer Gaußschen Fluktuationen für hohe Temperaturen. Für das klassische Curie-Weiss-Modell wurden Berry-Esseen Schranken sowohl mittels Steinscher Methode als auch aus mod-Gauss-Konvergenz gefolgert. Zusätzlich sind die Asymptotiken der gemischten Momente bekannt. Auch für Curie-Weiss-Modelle mit zufälligen Interaktionen, die durch einen Erdös-Rényi-Graph modelliert werden, wurden mit Hilfe der Steinschen Methode Berry-Esseen Schranken sowohl im quenched als auch im annealed Fall bewiesen. Für den Vektor der Block-Magnetisierungen im Block-Spin-Ising-Modell ist das Verhalten über die Gaußsche Fluktuation hinaus noch unbekannt. Allerdings stehen die asymptotischen Momente zur Verfügung. In diesen Modellen kann die Kumulantenmethode, die sich bereits als hilfreiches Werkzeug bewährt und in den letzten Jahren erneut Aufmerksamkeit gewonnen hat, zu interessanten Ergebnissen führen und so zu einem tieferen Verständnis über das Verhalten der Magnetisierung beitragen. Wegen der speziellen Abhängigkeitsstruktur im Ising-Modell liefert die Kumulantenmethode nur in bestimmten Temperaturbereichen Berry-Esseen Schranken. Mit dem Ziel präzise Asymptotiken anzugeben, erwarten wir, dass die Stein‘sche Methode auf sogenannte gewichtete Abhängigkeitsgraphen verallgemeinert werden kann, was einerseits Konvergenzraten in bisher fehlenden Temperaturbereichen liefert und andererseits die Stein‘sche Methode für eine große Klasse von Abhängigkeitsstrukturen anwendbar macht.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2265: Zufällige geometrische Systeme