Abgeleitete analytische Geometrie und Invarianten

• Antragsteller: Dr. Devarshi Mukherjee
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 534946574

Dieser Vorschlag untersucht verschiedene Wechselwirkungen zwischen (abgeleiteter) analytischer Geometrie und nichtkommutativer Geometrie unter Verwendung neu entwickelter Ansätze zur Homotopietheorie in funktionalanalytischen Umgebungen – Bornologien und kondensierte Mathematik. Klassischerweise wurden analytische und algebraische Geometrie verwendet, um grundlegende geometrische Objekte wie Varietäten, analytische Räume und Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, die lokal durch kommutative topologische Ringe modelliert werden. Es stellt sich jedoch heraus, dass es mehrere natürliche geometrische Phänomene wie die Bildung von Quotienten von Gruppenaktionen auf Räume oder nichttransversale Schnittpunkte von Kurven gibt, die die Arbeit mit algebraischen Objekten erfordern, die die zusätzliche Komplexität erfassen. Bei diesen Objekten handelt es sich um abgeleitete kommutative (topologische) Ringe, die die Bausteine der abgeleiteten (analytischen) Geometrie sind. Eine andere Möglichkeit, solche geometrischen Phänomene zu modellieren, sind nichtkommutative topologische Algebren und Invarianten solcher Algebren, die den Kern der nichtkommutativen Geometrie bilden. Bemerkenswerterweise haben sich nichtkommutative Invarianten wie die topologische zyklische Homologie und die algebraische K-Theorie auch als sehr leistungsfähige Werkzeuge bei der Untersuchung rein algebraischer und kommutativer Objekte wie Varietäten und abgeleiteter Schemata erwiesen. In diesem Projekt schlagen wir eine Erweiterung dieser Invarianten (nämlich topologische zyklische Homologie) und der Techniken ihrer Verwendung auf analytische Räume und allgemeiner auf abgeleitete analytische Räume vor. Solche Konstruktionen werden unter Verwendung der kürzlich entwickelten Rahmenwerke der bornologischen und kondensierten Mathematik durchgeführt, die ideale Grundlagen für die Wechselwirkungen zwischen Analysis und (homotopischer) Algebra darstellen. Wir werden auch Techniken aus der abgeleiteten analytischen Geometrie verwenden, um zyklische Homologie für eine bestimmte nichtarchimedische Vervollständigung eines Gruppenrings für Gruppen zu berechnen, die in der geometrischen Gruppentheorie und im berühmten Langlands-Programm von Bedeutung sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen