Das Konjugiertheitsproblem und Gruppen von Automorphismen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Bettina Eick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 535115960

Das Konjugiertheitsproblem ist eines der grundlegenden Probleme der Gruppentheorie. Es wurde 1911 von Dehn neben dem Wortproblem und dem Isomorphieproblem als eines der drei Hauptprobleme in der Gruppentheorie ausgezeichnet. In den letzten Jahren wurde es zusätzlich populär, da Gruppen mit einem schwer zu lösenden Konjugiertsheitsproblem wichtig sind für das AAG-Kryptosystems. Die Untersuchung bestimmter Gruppentypen und ihres Konjugiertheitsproblems ist damit zu einer zentralen Aufgabe in der Gruppentheorie geworden. In diesem Projekt wird das Konjugiertheitsproblem für drei Typen von Gruppen untersucht: Untergruppen von ganzzahligen Matrixgruppen, Automorphismengruppen von torsionsfreien endlich erzeugten nilpotenten Gruppen und Automorphismengruppen von endlich erzeugten freien Gruppen. Das Konjugiertheitsproblem in der allgemeinen linearen Gruppe über den ganzen Zahlen GL (n, Z) wurde von Grunewald (1980) gelöst. Praktikable Methoden dazu wurden von Eick, Hofmann und O'Brien (2019) und von Bley, Hofmann und Johnston (2022) entwickelt. Das Konjugiertheitsproblem für Untergruppen von GL (n, Z) ist offen und es ist unser Ziel, Methoden für gewisse Untergruppen zu entwerfen. Torsionsfreie endlich erzeugte nilpotente Gruppen haben eine gut entwickelte algorithmische Theorie und es stehen effektive Methoden zur Lösung ihres Konjugiertheitsproblems bereit. Allerdings sind ihre Automorphismusgruppen ein ganz anderer Fall und hier ist das Konjugiertheitsproblem weit offen. Wir werden verschiedene Ansätze zur Lösung dieses Problems betrachten. Endlich erzeugte freie Gruppen sind schon seit langem gut untersucht und auch ihr Konjugiertheitsproblem kann leicht gelöst werden. Wieder ist das ganz anders für die Automorphismusgruppe einer freien Gruppe. Bogopolski (1889) hat eine Lösung für Automorphismengruppe von freien Gruppen auf zwei Erzeugern beschrieben. Es ist unser Ziel, hier weitere Fälle zu betrachten oder drei Erzeugern zu betrachten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Kooperationspartner: Professor Dr. François Dahmani