Homologische Methoden in der Quantenfeldtheorie

• Antragsteller: Dr. Christoph Chiaffrino
• Fachliche Zuordnung: Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 536887995

Ziel des Projekts ist es, neue Anwendungsmöglichkeiten der homologischen Algebra auf klassische und quantisierte Feldtheorien zu finden. Die Theorie der homologischen Algebren wird insbesondere angewandt auf die Formulierung von Feldtheorien als Homotopiealgebren und auf den Batalin-Vilkovisky (BV) Formalismus. Konkret sollen folgende Anwendungen untersucht werden: Doppelfeldtheorie als Doppelkopie einer Yang-Mills Theorie: Die Yang-Mills Theorie kann als Homotopie-kommutative Algebra beschrieben werden. Es wurde bis zur quadratischen Ordnung in der Kopplungskonstante gezeigt, dass diese Algebra zu einer sogenannten Homotopie-BV Algebra fortgesetzt werden. Desweiteren wurde gezeigt (bis zur quadratischen Ordnung), dass das Tensor-Produkt zweier solcher Homotopie-BV Algebren die Doppelfeldtheorie beschreibt. Das Ziel ist nun, beide Erkenntnisse auf alle Ordnungen zu verallgemeinern. Dabei möchte ich meinen Schwerpunkt insbesondere auf das Finden eines passenden Tensorprodukts zweier Homotopie-BV Algebren legen. Das Tensor-Produkt zweier Yang-Mills-Theorien ist dann ein Spezialfall davon. Quantenerwartungswerte als BV-Kohomologie: Es wurde gezeigt, dass das (nicht-definierte) Pfadintegral in der Quantenmechanik auch durch Berechnung der Kohomolgie des BV-Laplace-Operators erhalten werden kann. Das Konzept der Kohomologie ist im Gegensatz zum Pfadintegral wohldefiniert. Insbesondere wurde eine 1 zu 1 Abbildung zwischen der Kohomologie und der Wahl der Randbedingungen im Pfadintegral gefunden. Als nächsten Schritt möchte ich diese Idee auf Eichfeldtheorien anwenden und testen. Ziel ist durch diesen neuen mathematischen Ansatz einige mathematische Ungereimtheiten des Pfadintegrals zu umgehen. AdS-CFT Korrespondenz als Homotopie-Transfer: Feldtheorien können als Homotopie-Lie-Algebren beschrieben werden. Ein mächtiges Werkzeug ist dabei der Homotopietransfer, welcher eine Theorie in eine Äquivalente überführt. Im Falle eines Skalarfelds auf AdS-Hintergrund wurde gezeigt, wie die Tree-Level-Erwartungswerte der dazugehörenden CFT auf dem AdS-Rand durch einen solchen Homotopietransfer erhalten werden können. Im Rahmen des Projekts soll dieser Homotopietransfer auch für komplexere Theorien (insbesondere Eichtheorie und Gravitation) gezeigt werden. Lokale Homotopie-Algebren: Lokalität ist eine zentrale Anforderung aller Feldtheorien. Beschreibt man eine beliebige Feldtheorie abstralkt als Homotopie-Lie-Algebra, so geht das Konzept der Lokalität verloren. Ein Ziel im Projekt ist es, die Definition der Homotopie-Algebren so zu erweitern, so dass die Lokalität aus dieser Definition hervorgeht. Von Homotopie-Lie hinzu BV: Es ist bekannt, dass die perturbative Expansion einer BV-Theorie eine Homotopie-Lie Algebra ergibt. Ein Ziel im Projekt ist es, einen ähnlichen Zusammenhang in die umgekehrte Richtung zu zeigen. Dies ist in endlich Dimensionen bekannt. Im Projekt soll der unendlich dimensionale Fall betrachtet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich, USA
• Mitverantwortliche: Dr. Roberto Bonezzi, Ph.D.; Felipe Diaz-Jaramillo; Professor Dr. Olaf Hohm; Professor Dr. Ivo Sachs
• Kooperationspartner: Professor Dr. Owen Gwilliam; Professor Dr. Bruno Vallette