Stabilität, Genauigkeit und Effizienz hybrider Finite Elemente / neuronaler Netzwerk - Ansätze zur Lösung partieller Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Lessig; Professor Dr. Thomas Richter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Bild- und Sprachverarbeitung, Computergraphik und Visualisierung, Human Computer Interaction, Ubiquitous und Wearable Computing
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 537063406

Die Lösung von partiellen Differentialgleichungen ist ein zentrales Thema der numerischen Analysis und ein unverzichtbares Werkzeug im Wissenschaftlichen Rechnen. Bestehende Ansätze, wie z. B. Finite Elemente, können in vielen Anwendungen effiziente und robuste Lösungen liefern. Deep Neural Networks sind in den letzten Jahren dennoch als alternativer Ansatz mit vielversprechenden Ergebnissen hervorgetreten. Techniken, die ganz oder teilweise auf neuronalen Netzen beruhen, verfügen jedoch derzeit nicht über die mathematischen Garantien und Einblicke, die für etablierte Ansätze verfügbar sind. Ihre Leistungsfähigkeit und Robustheit in Anwendungen ist derzeit auch noch unklar. Im vorgeschlagenen Projekt werden wir an einer mathematischen Theorie für numerische Verfahren arbeiten, die Finite Elemente und Deep Neural Networks für die Lösung partieller Differentialgleichungen verbinden. Unsere Hypothese ist, dass ein solcher Ansatz eine effizientere und genauere Lösung bieten kann als jedes Verfahren alleine. Wir betrachten die Navier-Stokes-Gleichungen, wobei die neuronalen Netze das Verhalten auf Skalen darstellen, die durch die Finite Elemente nicht aufgelöst werden. Die Netze werden mit hochauflösenden Referenzdaten trainiert ohne physikalische Beschränkungen, wie dies bei PINNs der Fall ist. Hauptziel des vorgeschlagenen Projekts ist die numerische Analyse. Wir halten die praktische Anwendbarkeit unserer Ergebnisse jedoch auch für wichtig. Die Entwicklung eines frei verfügbaren Forschungscode für hybride Strömungslöser ist deshalb auch Teil des Projekts. Wir bauen auf jüngsten Arbeiten auf, die gezeigt haben, dass die mathematische Analyse von Deep Neural Networks mit Techniken möglich ist, die für Finite Elemente Methoden entwickelt wurden. Diese Ergebnisse erweitern wir für hybride numerische Zeitschrittverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen und betrachten praktisch relevante Konfigurationen. Ebenso erweitern wir bestehenden Ergebnisse auf moderne Netzwerkarchitekturen, z. B. Transformer. Diese sind eine der leistungsfähigsten Architekturen, die in der Praxis verwendet werden, und gleichzeitig gut geeignet für das wissenschaftliche Rechnen und eine mathematische Analyse. Eine der zentralen zu betrachtenden Fragen ist die Stabilität und die Genauigkeit der hybriden Simulationen, d. h., dass Lösungen beschränkt bleiben und dass die neuronalen Netz die Genauigkeit verbessern. Für einen hybriden Löser erfordert dies neuronale Netze, die für zulässige Eingaben stabil sind, aber auch eine Kopplung zu Finiten Elementen, die die Stabilität bewahrt. Zweitens werden wir adaptive Lösungsschemata erforschen, bei denen a posteriori oder auf neuronalen Netzen basierende Fehlerschätzungen verwendet werden, um Lösungen zu verfeinern und Fehlerkriterien zu erfüllen. Wir glauben, dass die im Rahmen des vorgeschlagenen Projekts erzielten Ergebnisse auch für eine umfassendere Theorie für Simulationen mit neuronalen Netzen von Bedeutung sein werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen